[De Thomas Ferguson, ejercicio $2.8$ ] Mostrar si $X_n \rightarrow X$ a.s. y si $E(X_{n}^{2}) \rightarrow E(X^2) < \infty$ entonces $X_n \rightarrow X$ en la media cuadrática.
Por lo tanto, tengo que demostrar que $E\left(|X_{n} - X|^2 \right) \rightarrow 0.$ Lo que estaba pensando era algo así como
\begin{eqnarray} E\left(\left(X_{n} - X\right)^2\right) = E\left(\left(X_{n}^{2} - 2XX_n + X^2\right)\right) &=& E\left(\left(X_{n}^{2} - 2XX_n + 2X^2 - X^2\right)\right)\\ &=& E\left(\left(X_{n}^{2} - X^2 - 2XX_n + 2X^2\right)\right)\\ &=& E\left(\left(X_{n}^{2} - X^2\right)\right) - E\left(\left(2XX_n - 2X^2\right)\right). \end{eqnarray} Ahora sé que $E\left(\left(X_{n}^{2} - X^2\right)\right) \rightarrow 0$ de la hipotesis. Pero no sé qué hacer con el otro término y cómo relacionarlo con la convergencia a.s.
Sé que este problema puede estar relacionado con el teorema de Scheffe o de Riesz (o la convergencia dominada), pero estaba pensando si se podría conseguir utilizando cálculos de probabilidad sencillos sin ningún resultado de la teoría de la medida. Gracias
