Límite de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Question

Esta es una pregunta súper rara viniendo de alguien que está empezando en las matemáticas.

Si $n$ es un número entero positivo, se puede observar que como $n$ crece, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ empieza a parecerse cada vez más a $\mathbb{N}$ . Si fuera un pequeño número entero $k$ El grupo entero empezaría a ser cada vez más indistinguible de $\mathbb{N}$ como $n$ crece - mi inversa aditiva se aleja cada vez más. ¿Es esta idea algo que se estudie o formalice en algún lugar?

Answer 1

Esto se puede formalizar hasta cierto punto de diferentes maneras, dependiendo de lo que se quiera hacer. En teoría de los números aditivos es común modelar los problemas en $\mathbb{Z}$ como problemas en $\mathbb{Z}/n$ para grandes $n$ la idea es que, por ejemplo, si todo lo que estás haciendo es sumar un número acotado de elementos acotados, no importa en cuál de los dos lo hagas, si $n$ es lo suficientemente grande. Esto se puede formalizar utilizando conceptos como grupos locales o Homomorfismos de Freiman Pero esto no es en absoluto mi área, así que no sé mucho más que eso.

En los ámbitos que conozco mejor es posible definir rigurosamente un tipo particular de "límite" de los grupos $\mathbb{Z}/n$ , es decir, su límite categórico . Esto produce un grupo muy interesante llamado números enteros profinitos $\widehat{\mathbb{Z}}$ que aparecen en varios lugares, por ejemplo como el grupo de Galois absoluto de un campo finito . Son una especie de "terminación" de los números enteros; en particular son incontables, pero $\mathbb{Z}$ todavía se encuentra en el interior como un denso subgrupo.