Si $k|n$ entonces $D_{2n}/\langle{r^k}\rangle\cong D_{2k}$

Question

Tengo que demostrar que, dado $k|n,$ y $\langle{r^k}\rangle$ es un subgrupo normal del grupo diedro $D_{2n}$ entonces $D_{2n}/\langle{r^k}\rangle\cong D_{2k}$

Dado esto, sé que necesito demostrar que un homomorfismo particular es una biyección. El natural que estaba pensando era $$\phi:D_{2k}\rightarrow D_{2n}/\langle{r^k}\rangle$$ $$r^is^j\mapsto r^is^j\langle{r^k}\rangle$$ Primero tengo que demostrar que se trata de un homomorfismo, lo cual es fácil, creo, ya que $$\phi(r^{i_1}s^{j_1}r^{i_2}s^{j_2})=r^{i_1}s^{j_1}r^{i_2}s^{j_2}\langle{r^k}\rangle=r^{i_1}s^{j_1}\langle{r^k}\rangle r^{i_2}s^{j_2}\langle{r^k}\rangle=\phi(r^{i_1}s^{j_1})\phi(r^{i_2}s^{j_2})$$ Ahora que tengo el homomorfismo, necesito demostrar la biyectividad. Así que dado $\phi(r^{i_1}s^{j_1})=\phi(r^{i_2}s^{j_2})$ $$\phi(r^{i_1}s^{j_1})=\phi(r^{i_2}s^{j_2})\Rightarrow r^{i_1}s^{j_1}\langle{r^k}\rangle=r^{i_2}s^{j_2}\langle{r^k}\rangle$$ y es aquí donde me estoy atascando...quedándome en blanco

Answer 1

Creo que esa es la "forma difícil" de demostrar el isomorfismo. Una forma más fácil es utilizar el Teorema del Isomorfismo Fundamental, y mostrar un homomorfismo:

$\psi: D_{2n} \to D_{2k}$

con $\text{ker }\psi = \langle r^k\rangle$ .

Sugiero tomar $\psi(r^j) = r^{j\text{ mod }k}$ y $\psi(s) = s$ .

Para demostrar $\psi$ es un homomorfismo, bastará con demostrar que $\psi(r^n) = 1 = \psi(s^2)$ y $\psi(s)\psi(r) = \psi(r)^{-1}\psi(s)$ . Tendrá que utilizar el hecho de que $k|n$ aquí.