¿Por qué existen las secuencias? ¿Qué significa formalmente "construir una secuencia"?

Question

Todo el mundo conoce argumentos como:

"Podemos construir tal secuencia inductivamente. Sea $a_0$ ser elegido como [ ]. Entonces podemos elegir $a_{k+1}$ fuera del conjunto $A_{k+1}$ (que se demostró que no estaba vacía)".

O

"Podemos construir esta secuencia inductivamente. Sea $a_0$ se elija como [ ]. Entonces definimos $a_{k+1}=f(a_k)$ "

¿Qué significa formalmente "construir" una secuencia? Está intuitivamente claro, pero me pregunto cómo se traslada este procedimiento de construir algo a la teoría de conjuntos y a la lógica formal. Especialmente en el primer caso, me parece que se necesita el axioma de elección, y como nadie lo mencionó nunca en mis clases para principiantes, me pregunto si hay aún más detrás de esto en lo que simplemente no se piensa cuando sólo se quiere hacer matemáticas.

Answer 1

El primer caso requiere una elección contable en general, ya que se puede reformular fácilmente para dar una función de elección para una colección contable de conjuntos no vacíos.

Para el segundo caso (es decir, con un predicado funcional $f$ dado), la elección no es necesaria. Sea $X$ sea el conjunto de números naturales $n$ tal que existe un conjunto $Y_n$ y una función $\alpha_n\colon\{0,\ldots,n\}\to Y_n$ tal que $\alpha_n(0)=a_0$ y $\alpha_n(k+1)=f(a_k)$ para todos $k<n$ . Entonces, por inducción, podemos demostrar fácilmente que $X=\mathbb N$ . A continuación, dejar que $a_k=\alpha_n(k)$ para la arbitrariedad $n\ge k$ resulta estar bien definida y dar una secuencia como la requerida.