Si A es un campo y está contenido en un dominio K afín, entonces A es algebraico

Question

Estoy tratando de entender la intuición así como la demostración del siguiente teorema:

Dejemos que $A$ sea un álgebra sobre un campo $K$ . Si $A$ es un campo y está contenido en un afín $K$ -dominio, entonces $A$ es algebraico.

La prueba que estoy viendo es en las páginas 8 y 9 de este libro .

Algunas de mis preguntas son:

1. ¿Por qué tenemos que considerar el subconjunto máximo K-algebraicamente independiente?
2. "Para b $Quot(B)$ la multiplicación por b da un $L$ -endomorfismo lineal de $Quot(B)$ "- ¿Por qué es $L$ -¿lineal?
3. "Elegir un $L$ -base de $Quot(B)$ obtenemos un mapa : $Quot(B)$ $L^{m×m}$ asignando a cada b $Quot(B)$ la matriz de representación de este endomorfismo". - ¿Cómo encontramos esta matriz? ¿Simplemente multiplicamos la $L$ -elementos de base en $Quot(B)$ por $b$ y escribir lo que obtenemos como columnas? ¿Dónde están los $m$ ¿De dónde viene?

El resto de la prueba tampoco me queda claro, pero pensé en hacer estas preguntas primero. Si hay otra prueba de esto que usted podría dirigirme a, que también sería grande.

Answer 1

(1) En realidad, es A máximo $K$ -subconjunto algebraicamente independiente- ciertamente puede haber más de uno. El término "máximo" se utiliza con respecto a la ordenación parcial por inclusión. El conjunto se elige para que sea máximo de manera que $a_{r + 1}$ , $\ldots$ , $a_n$ será algebraico sobre $L = K(a_1, \ldots a_r)$ . Esto es lo que garantiza que $\textrm{Quot}(B) = L(a_{r + 1}, \ldots, a_n)$ es de dimensión finita sobre $L$ .

(2) Automáticamente, si $R \subseteq S$ son anillos conmutativos, y $s_0 \in S$ la asignación $u \colon S \to S$ definido por $u(s) = s_0 s$ es $R$ -lineal.

(3) $m$ es la dimensión de $\textrm{Quot(B)}$ en $L$ . Su descripción es correcta. Si una base de $\textrm{Quot(B)}$ en $L$ es $\{b_1, \ldots, b_m \}$ entonces la primera columna será las coordenadas de $bb_1$ en esa base.

La proposición 7.9 de Atiyah-Macdonald es cercana, pero no idéntica.