Cómo demostrar que $(x+y)^{a} \geq x^{a} + y^{a}$ dado que $a \geq 1$ y $x,y \geq 0$ ?

Question

Cómo demostrar que $(x+y)^{a} \geq x^{a} + y^{a}$ dado que $a \geq 1$ y $x,y \geq 0$ ? Además, ¿cómo demostrar que la desigualdad inversa es válida cuando $0 \leq a \leq 1$ ?

Answer 1

Nos ocupamos de $a\ge 1$ . Si $a=1$ no hay nada que hacer. Así que dejemos $a\gt 1$ . Fijar $y$ y que $f(x)=(x+y)^a-x^a-y^a$ .

Tenemos $f(0)=0$ y $f'(x)=a((x+y)^{a-1}-x^{a-1})$ . Así que $f'(x)\ge 0$ si $x\ge 0$ . De ello se desprende que para un $y$ , $f(x)$ es no decreciente.