Cálculo de la matriz exponencial

Question

Estoy trabajando con un libro de texto de ED y estoy en el método de la matriz exponencial para las EDO de primer orden. Quiero confirmar si estoy pensando en esto correctamente.

Estoy utilizando la definición: $e^{At}$ = $\sum\limits_{k=0}^{\infty }A^{k}\frac{t^{k}}{k!}$

Para mi problema tengo: X ' = $\begin{bmatrix}4& 3\\-4& -4\end{bmatrix}$ X

( X ' = A X )

Aquí, $k = 1$

$\sum\limits_{k=0}^{\infty }A^{k}\frac{t^{k}}{k!}$ = I + A t = $\begin{bmatrix}1& 0\\0& 1\end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix}4& 3\\-4& -4\end{bmatrix}$ t = $\begin{bmatrix}1+4t& 3t\\-4t& 1-4t\end{bmatrix}$

La solución general utilizando este método para una ecuación homogénea es: X \= $e^{At}$ C

X \= $\begin{bmatrix}1+4t\\-4t\end{bmatrix}$ C1 + $\begin{bmatrix}3t\\1-4t\end{bmatrix}$ C2

Cuando utilizo el método de encontrar los valores propios con los correspondientes vectores propios obtengo:

X \= C1 $\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}$$e^{2t} $ + C2 $\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$$e^{-2t} $ (Esta es la solución que aporta el libro).

¿Puede indicarme dónde me equivoco, o si son respuestas equivalentes?

Answer 1

$\exp(At)$ mi diagonalización de la matriz. Si $D^{-1} A D= \Lambda$ , $\Lambda=diag(\lambda_1, \lambda_2)$ entonces $$A=D \Lambda D^{-1}, f(A)=D f(\Lambda) D^{-1}$$ . En su caso $$\Lambda=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 &2 \end{pmatrix}, D= \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, e^{\Lambda t}= \begin{pmatrix} e^{2t} & 0 \\0 & e^{-2t}\end{pmatrix}$$ Entonces $$ e^{At}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2(-e^{-2t}+3e^{2t}) & -3e^{-2t}+3e^{2t} \\ 4(e^{-2t}+e^{2t}) & 2(3e^{-2t}-e^{2t}) \end{pmatrix}.$$ ¿Esto ayuda?