Probar que un conjunto incontable tiene un subconjunto incontable cuyo complemento es incontable.

Question

Cómo se demuestra que un conjunto incontable tiene un subconjunto incontable cuyo complemento es incontable. Sé que se necesita el axioma de elección, pero nunca he trabajado con él, así que no consigo averiguar cómo utilizarlo. Aquí está mi intento (que parece equivocado desde el principio):

Dejemos que $X$ sea un conjunto incontable, escriba $X$ como una unión disjunta e incontable de los conjuntos $\{x_{i_1},x_{i_2}\}$ es decir $X=\bigcup_{i\in I}\{x_{i_1},x_{i_2}\}$ donde $I$ es un índice incontable (estoy bastante seguro de que escribir $X$ como no se puede hacer siempre), utilizando el axioma de elección en la colección $\{x_{i_1},x_{i_2}\}$ obtenemos un conjunto incontable que digamos es todo el ${x_{i_1}}$ entonces el resto ${x_{i_2}}$ son incontables.

De todos modos, ¿cómo se hace, correctamente?

Sé que la pregunta se ha formulado de alguna forma aquí, pero las respuestas escapan a mis conocimientos.

Answer 1

Su idea es generalmente correcta.

Utilizando el axioma de la elección, $|X|=|X|+|X|$ por lo que existe una biyección entre $X$ y $X\times\{0,1\}$ . Es evidente que este último puede dividirse en dos conjuntos incontables, $X\times\{0\}$ y $X\times\{1\}$ .

Por lo tanto, $X$ puede dividirse en dos conjuntos disjuntos incontables.

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De hecho, es necesario el axioma de elección para que todo conjunto infinito pueda escribirse como una unión disjunta de dos conjuntos infinitos, por no hablar de los incontables.

Answer 2

Perdón por el necropost; me encontré con esto y quise compartir una prueba usando sólo el lema de Zorn (es decir, una prueba "elemental").

Editar: "elemental" quizás no sea la mejor palabra para usar aquí. Quizás "fácil" sea mejor. Véanse los comentarios.

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Dejemos que $ P=\left\{ A \subset X\times X\colon\phi(A)\right\} $ donde $\phi$ es la proposición dada por: $$ \phi(A)=\forall(x,y)\in X\times X\colon(x,y)\in A\implies\psi(A,x,y) $$ y $$ \psi(A,x,y)=\forall(w,z)\in A\colon\left(x=w\iff y=z\right)\wedge x\neq z\wedge y\neq w. $$

Ejemplo: Si $X=\mathbb{N}$ el conjunto $A=\{(1,2),(3,4)\}$ sería en $P$ pero el conjunto $A^{\prime}=\{(1,2),(3,1)\}$ no lo haría (el número $1$ aparece dos veces).

Definir un orden parcial en $P$ por inclusión $\subset$ . Trivialmente, cada cadena en $P$ tiene un límite superior dado por la unión de los elementos de esa cadena. Por el lema de Zorn, $P$ tiene un elemento máximo, digamos $$ A^{\star}=\{(x_{\alpha},y_{\alpha})\}. $$ Dejemos que $X_{1}=\{x_{\alpha}\}$ y $X_{2}=\{y_{\alpha}\}$ . Entonces $X_{1}$ y $X_{2}$ son disjuntos por construcción y necesariamente incontables (de lo contrario $X$ no es incontable). Sea $ Z= X_{1}\sqcup X_{2} $ y observe que $X\setminus Z$ tiene a lo sumo un elemento, pues de lo contrario contradecimos la maximalidad de $A^{\star}$ . Por último, dejemos que $$ X_{1}^{\prime}= X_{1}\sqcup(X\setminus Z), $$ para que $X= X_{1}^{\prime}\sqcup X_{2}$ , según se desee.