Demuestra que $A \in M_n$ y $B \in M_n$ no tienen por qué ser iguales si $x^TAx = x^TBx$ para todos $x \in \mathbb{C}^n$ .

Question

Demostrar que $A \in M_n$ y $B \in M_n$ no tienen por qué ser iguales si $x^TAx = x^TBx$ para todos $x \in \mathbb{C}^n$ .

Mi intento: $x^TAx - x^TBx = x^T(A-B)x = x^TCx = 0$ donde se define $C = A-B$ Entonces, o bien $A=B$ o los valores propios de $C$ corresponden a cero. ¿Tiene sentido esta prueba? o ¿necesito más información para corroborar la afirmación?

Gracias de antemano

Answer 1

Así que necesitas $C\not=0$ tal que $x^TCx = 0$ para todos $x$ . Para $2\times2$ -matrices esto puede lograrse con $C=C_2=\pmatrix{0&1\\-1&0}$ . Para $n>2$ puede utilizar $\pmatrix{C_2&0\\0&0}$ .