Prueba de relación del teorema del binomio

Question

Existe esta identidad

$$1 -\frac{1}{2}\binom{n}{1}+\frac{1}{3} \binom{n}{2}- \frac{1}{4}\binom{n}{3}+....+(-1)^n \frac{1}{n+1}\binom{n}{n}$$

Y se supone que debemos demostrarlo usando estas dos identidades

$$k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$$

y

$$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} +....+ \binom{n}{n} = 2^n$$

Llevo mucho tiempo trabajando en este problema. ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

\begin{eqnarray*} \frac{1}{i+1}= \int_0^1 x^i dx \end{eqnarray*} Sube esto a la suma e intercambia el orden de la suma y la integral \begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n} (-1)^i\binom{n}{i} \frac{1}{i+1}&=& \int_0^1 \sum_{i=0}^{n} (-1)^i\binom{n}{i}x^i dx \\ &=& \int_0^1 (1-x)^n dx \\ &=& \left[ \frac{-(1-x)^n}{n+1} \right]^1_0 \\ &=& \color{blue}{ \frac{1}{n+1}} \\ \end{eqnarray*}

Answer 2

\begin{eqnarray} &&1 - \frac{1}{2}\binom{n}{1}+\frac{1}{3} \binom{n}{2}- \frac{1}{4}\binom{n}{3}+....+(-1)^n \frac{1}{n+1}\binom{n}{n}\\ &=&\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}\\ &=&\sum_{k=0}^n(-1)^{k}\frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k+1}\\ &=&\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}(-1)^{k}\binom{n+1}{k}\\ &=&-\frac{1}{n+1}\left[\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}\binom{n+1}{k}-1\right]\\ &=&\frac1{n+1} \end{eqnarray}