¿Por qué una serie infinita no se considera una suma infinita de términos?

Question

Según, por ejemplo, este excelente página de cálculo para principiantes, una serie infinita NO es una suma infinita de términos*.

Creo que una serie infinita es un número infinito de términos que se suman. También creo que se puede llamar el límite de su suma parcial $S_n$ como $n \to \infty$ pero no estoy seguro de si esas dos ideas entran en conflicto o cómo.

¿La suma infinita de términos es "igual" al límite de la suma parcial de una serie, y si no, por qué no?

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*Citar: "Sin embargo, tenemos que tener cuidado con esto. Esto implica que una serie infinita es sólo una suma infinita de términos y como veremos en la siguiente sección esto no es realmente cierto." He mirado la siguiente sección y sigo sin entender lo que dicen.

Answer 1

La operación de adición es una binario es una operación definida en pares de números reales (o complejos). Cuando escribimos algo como $a+b+c$ Aparentemente sumando tres números, en realidad estamos haciendo una suma repetida de dos números, ya sea $(a+b)+c$ ou $a+(b+c)$ (suponiendo que no cambiemos el orden de los términos); una de las propiedades básicas de esta operación es que en realidad no importa en qué orden hagamos estas sumas binarias repetidas, porque todas dan el mismo resultado.

Es bastante fácil entender lo que significa hacer dos adiciones sucesivas para obtener $a+b+c$ o $200$ para conseguir $a_0+a_1+\ldots+a_{200}$ no está tan claro lo que significa hacer infinitamente muchas de ellas para conseguir $\sum_{k\ge 0}a_k$ . La mejor manera que se ha encontrado para dar sentido a este concepto es definir que esta suma sea el límite de las sumas parciales finitas:

$$\sum_{k\ge 0}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^na_k\tag{1}$$

siempre que exista el límite. Para cada $n$ la suma dentro del límite en el lado derecho de $(1)$ es una suma finita ordinaria, el resultado de realizar $n$ sumas binarias ordinarias. Este es siempre un objeto significativo. El límite puede existir o no; cuando existe, también es un objeto con sentido, pero es el resultado de un nuevo tipo de operación. No es el resultado de una cadena infinita de sumas binarias; ni siquiera intentamos definir tal cosa directamente. En su lugar, nos fijamos en las sumas finitas, que podemos definir directamente a partir de la operación binaria ordinaria de la suma, y luego tomamos su límite. De este modo, combinamos una noción algebraica, la adición, con una noción analítica, la de tomar un límite.

Sumas finitas como $a_0+\ldots+a_{200}$ se comportan de la misma manera: siempre existen, y podemos barajar los términos como queramos sin cambiar la suma. Las series infinitas no se comportan igual: $\sum_{n\ge 0}a_n$ no siempre existe, y barajar el orden de los términos puede en algunos casos cambiar el valor. Esto realmente es una nueva operación, con diferentes propiedades.

Answer 2

Las series no gozan de todas las buenas propiedades que tienen las sumas finitas habituales. Por ejemplo:

La alteración de los paréntesis puede modificar la suma . Sabemos que $$(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+\cdots=0$$ pero $$1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots=1+0+0+\cdots=1$$

Así, la introducción de paréntesis altera la suma. Y eliminándolos:

$$1-1+1-1+1-1+1-+\cdots$$

¡nos da una suma divergente!

Dos series convergentes pueden dar lugar a una serie divergente al multiplicarse Tome $$S=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$$

Se puede demostrar que esto converge mediante el uso de la prueba de Leibniz. Pero el producto de Cauchy de $S$ con ella misma diverge, porque la serie armónica diverge.

La suma de números racionales puede dar lugar a un número irracional Por ejemplo $$\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}6$$$$ \sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}n=\log 2$$

El orden en que se suman los términos es importante Por ejemplo, si tomamos la serie armónica, siempre podemos tomar términos positivos y negativos a nuestro gusto para que la suma sea el número que queramos. Este es un caso particular de un teorema de Riemann

Answer 3

La cuestión que debemos discutir aquí es que, para algunas series, cada uno de estos arreglos de términos puede tener valores diferentes a pesar de que están utilizando exactamente los mismos términos.

Esto se conoce como el Teorema de la serie de Riemann para las series semiconvergentes; pero si se considera una serie como "sólo una suma infinita de términos", esto no debería sostenerse (los términos son los mismos, por lo que la suma debería serlo).

Answer 4

La suma, en un principio, se define para un par de números. A partir de esto se puede definir coherentemente la suma de un número finito de números. Obsérvese que esto requiere una definición.

Definición: $a_1+a_2+...a_n:= a_1+(a_2+(a_3+...a_n)...)$ .

Entonces, para esta definición hay que demostrar muchas cosas. Entre ellas, demostrar que el símbolo recién definido $a_1+\ldots+a_n$ coincide con otras formas "naturales" de definir $a_1+\ldots+a_n$ . Por ejemplo que también es igual a cuando lo defines colocando los paréntesis de otras maneras, cuando lo defines colocando los números de otras maneras, que distribuye con la multiplicación. Todo esto hay que sondearlo. Por suerte se consigue probarlo y las cosas funcionan de forma muy similar a la suma de dos números.

Ahora tienes un nuevo símbolo $a_1+a_2+\ldots$ que desea definir. Como cualquier definición puede hacerse de la forma que se quiera. Hay muchas formas de definirlo, no sólo como el límite de las sumas parciales. Como antes te gustaría tener propiedades que, como para la suma de $n$ números, hace que parezca una suma de dos números.

El problema de este tercer paso es que las cosas no funcionan tan bien. Las diferentes formas de definirlo no resultan ser equivalentes (algunos "procedimientos de suma" convergen mientras que otros no, algunos convergen a sumas diferentes). La asociatividad no funciona.

Resumiendo: 1) $a_1+a_2$ 2) $a_1+a_2+\ldots+a_n$ y 3) $a_1+a_2+\ldots$

son tres definiciones diferentes. Lo que ocurre es que la 2 es muy parecida a la 1, y la 3 es un poco parecida a la 1 pero no tanto como la 2.

Answer 5

Incluso cuando se utiliza la misma palabra "suma" para sumas finitas e infinitas (de números reales), es importante recordar que las dos nociones son conceptualmente muy diferentes.

(1) Las sumas finitas pueden definirse de forma puramente algebraica, simplemente mediante el uso repetido de la operación primitiva de sumar dos números. Las sumas infinitas requieren para su definición la noción de límite.

(2) Las sumas finitas siempre existen; se puede sumar cualquier lista finita de números reales. Las sumas infinitas no tienen por qué existir; algunas series infinitas no convergen.

(3) Como señaló Clement C., incluso cuando las series infinitas convergen, no necesitan satisfacer todas las leyes algebraicas que se aplican a las sumas finitas.