Demuestre que si $a^h ≡ 1\mod p$ entonces $a^{ph} ≡ 1 \ \mod p^2$ .

Question

No sé cómo proceder. Sé que independientemente de lo que sea h, divide el orden de un módulo $p$ . También sé que el orden de un divide $\phi(p) \ \text{mod} \ p$ , donde $\phi$ es la función totiente de Euler. Por lo tanto, por la propiedad transitiva, $h$ divide $\phi(p)\ \text{mod} \ p$ . Pero no sé a dónde ir desde aquí... o si siquiera voy en la dirección correcta.

h no es necesariamente el orden de $a$ ¿cierto? (Porque no sabemos si es el menos $h$ tal que $a^h$ es congruente con $1$ modulo $p$ ).

Ayuda, por favor.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$a^h = 1+kp$$ así que $$a^{ph} = (1+kp)^p = 1 + kp^2 + \sum_{j=2}^p {p\choose j}k^jp^j$$ y $p^2$ divide cada término que no sea el primero.

Answer 2

Una pista: Tenemos $a^h=1+kp$ para algunos $k$ . Toma el $p$ -ésima potencia, utilizando el Teorema del Binomio.