Análisis de la dimensión de una integral

Question

Estoy leyendo Matemáticas para la lucha en la calle y no estoy seguro de entender el análisis de la dimensión integral. La idea es "adivinar" las integrales sin un cálculo explícito, simplemente mirando sus dimensiones.

Ha pasado una buena década desde la última vez que toqué las integrales, así que tened paciencia.

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Mi respuesta al problema es que la dimensión de $\int_{a}^{b}f(x)dx$ depende de la dimensión de la multiplicación $f(x)*dx$ por lo que, aunque el signo de la integral es efectivamente adimensional, si tenemos $f(x)$ siendo la "longitud por segundo" y $x$ siendo "segundo" entonces la integral resultante tendrá la dimensión "longitud".

Pero el autor también cuenta que $e^{-\alpha x^2}$ es adimensional y así se deriva la fórmula de dimensión para $\alpha$ :

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No entiendo por qué el $-\alpha x^2$ debe ser adimensional. ¿Y si no hay $\alpha$ (o $\alpha=1$ ), en cuyo caso el exponente se convierte en $e^{-x^2}$ - ¿tendrá ahora una dimensión? Y si no la tendrá, entonces ¿por qué la dimensión de $\alpha$ debería depender de la dimensión de $x$ ¿en absoluto?

Además, una última cuestión: si aceptamos que la única dimensión que afecta a la integral en cuestión es la dimensión de $x$ Entonces, al ponerlo en "longitud", la dimensión de la integral es "longitud". Pero las integrales calculan áreas, ¿no? Creo que en este caso la integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$ tendrá una dimensión de "longitud x 1" que sigue siendo área. ¿Es esto correcto, hay una explicación mejor?

Answer 1

La cuestión es que el análisis dimensional se romperá a menos que $-\alpha x^2$ es sólo un número (y por lo tanto $e^{-\alpha x^2}$ también lo es), por lo que $\alpha $ debe tener las dimensiones de $x^{-2}$ .

Entonces no importa el valor $\alpha $ entonces toma, siempre y cuando tenga esas dimensiones.

En algunos casos esto puede quedar oculto, por ejemplo, cuando el exponente utiliza una unidad como los radianes o los decibelios, pero en esos casos la unidad es esencialmente una relación o una función de una relación y, por tanto, sigue siendo efectivamente adimensional.

Answer 2

Puede obtener los resultados del análisis dimensional utilizando la sustitución $y=\sqrt{\alpha} x$ es fácil ver que $$\int e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \int e^{-y^2}\,dy.$$ Como la integral restante es independiente de $\alpha$ tenemos que la integral original $\propto \alpha^{-1/2}$ . (el análisis dimensional suele afirmar adicionalmente que la integral restante es de orden 1)

Answer 3

Para ampliar un poco la respuesta de Henry: La función exponencial se puede escribir como $$\mathrm e^{-\alpha x^2} = \exp(-\alpha x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\alpha x^2)^n}{n!},$$ por lo que con el mismo argumento sobre las sumas que el anterior utilizado para derivar la dimensión de una integral se ve que hay que tener $[-\alpha x^2] = 1$ para evaluar el exponencial. Esto es cierto para todas(?) las funciones no monoméricas (es decir, todas las funciones que no son de la forma $x^n$ ) con coeficientes sin dimensión.