¿Resolución de un sistema de ecuaciones con números naturales?

Question

En primer lugar siento si el nivel de esta pregunta no se acerca al nivel habitual de las preguntas de esta página porque mis conocimientos de matemáticas son todavía muy básicos. Espero que no les moleste.

He encontrado este problema en algún sitio:

"Una cesta de naranjas cuesta 20 dólares, una cesta de peras 30 dólares y una cesta de kiwis 40 dólares. Se han comprado ocho cestas de estas frutas por 230 dólares. ¿Cuál es el mayor número posible de cestas de kiwis que se compraron?"

La respuesta en la página web se explica simplemente poniendo valores y ver si funcionan. Sin embargo me gustaría saber si hay un método matemático para resolver esto.

Así que déjame hacer un sistema de ecuaciones:

$20o+30p+40k=230$

$o+p+k=8$

restricciones adicionales:

$o, p, k$ son números naturales

$k$ tiene que ser lo más grande posible.

¿Se puede resolver algo así matemáticamente sin poner valores y ver si funcionan? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Lo es, pero estos son más complicados. Si compramos $O$ cestas naranjas, $P$ cestas de pera, y $K$ cestas de kiwi, tenemos que

$$20O+30P+40K=230$$ $$O+P+K=8$$

Así que ahora combinamos las ecuaciones:

$$20(O+P+K)+10P+20K=230$$ $$160+10P+20K=230$$ $$10P+20K=70$$ $$P+2K=7$$

ahora el $2K$ número es claramente par. Pero el lado derecho es $odd$ lo que significa que debemos haber comprado un número impar de cestas de peras. Así que sabemos que $0\leq P \leq 8$ y que $P$ es impar. Así que nuestras opciones para $P$ están en $1,3,5,7$ . Mirando $P+2K=7$ vemos que $K$ puede ser como máximo $3$ (si $P=1$ ).

De manera más general, $K$ puede ser $3,2,1,0$ . Así que tenemos cuatro opciones diferentes:

$$O=4, P=1, K=3$$ $$O=3, P=3, K=2$$ $$O=2, P=5, K=1$$ $$O=1, P=7, K=0$$

Answer 2

Desde $20o+30p+40a=230$ tenemos $2o+3p+4a=23$ y de la segunda ecuación $o=8-p-a$ (Por lo tanto $p+a\leq8$ ). Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene $16-2p-2a+3p+4a=23$ es decir $p+2a=7$ . Así que $p=7-2a$ . Esto implica que $2a\leq7$ y como tratamos con números naturales, tenemos $a\leq3$ . Queda por comprobar que es posible tener $a=3$ Entonces $b=7-6=1$ y $o=8-3-1=4$ . Por tanto, tenemos que el valor máximo de $a$ es $3$ .

Answer 3

Empezando por sus ecuaciones $$20o+30p+40k=230$$ $$o+p+k=8$$ está claro (si las soluciones han de ser todas positivas) que $k$ puede ser como máximo $5$ Si no es así $40k\geq 240$ . Ahora, trabaje con los valores uno por uno - intente $k=5$ entonces $k=4$ y así sucesivamente. Para cada una de estas sustituciones, puedes intentar resolver las dos ecuaciones resultantes para $o$ y $p$ .

Pero $k=5$ y $k=4$ no conducen a soluciones con enteros positivos para $o$ y $p$ por lo que estos casos pueden ser rechazados. Encontrará la solución correcta cuando llegue a $k=3$ .