¿Medidas rápidas para calcular la cohomología del haz vectorial/sistema local a partir de las funciones de transición?

Question

Supongamos que tengo un haz vectorial (o un sistema local, o cualquier otra cosa dada por las funciones de transición) sobre una superficie de Riemann (o, en general, una variedad (compleja)), y quiero calcular su cohomología. El problema es que sólo conozco las funciones de transición, pero nada sobre las secciones.

Lo único que se me ocurre es la cohomología de Cech, es decir, dar una cobertura y hacer muchos cálculos. Para que las cosas funcionen, me parece que la cubierta tiene que tener muchas aperturas (efectivamente una triangulación), lo que complica el cálculo.

¿Alguien sabe si hay una forma mejor? Por otra parte, si alguien conoce formas de hacer más eficiente el enfoque anterior, me gustaría saberlo.

(Quizá sea una pregunta estúpida (trivial), pero no encuentro ninguna referencia al respecto).

Answer 1

El caso más sencillo de esta cuestión es si el haz es trivial. Así que creo que tienes que aceptar como bloque de construcción la cohomología con coeficientes triviales de tu espacio y subespacios. Pero si aceptas eso, la cohomología general se puede calcular en términos de estos bloques de construcción. Para una cubierta abierta $X=U\cup V$ hay una secuencia de Mayer-Vietoris $$H^i(X;L)\to H^i(U;L)\oplus H^i(V;L)\to H^i(U\cap V;L)\to H^{i+1}(X;L)$$ Dejo que $L$ significa "sistema local", pero también funciona para una gavilla coherente. Si es trivial en $U$ y $V$ entonces esos términos son tus bloques de construcción básicos (más precisamente, sólo son isomorfos y tienes que prestar atención a los isomorfismos). Las funciones de transición aparecen en los mapas de restricción de $U$ y $V$ a la intersección. Se podría pensar en la trivialización de $L$ en la intersección como procedente de la trivialización en $U$ en cuyo caso el mapa de restricción de $U$ es el mapa habitual en la cohomología con coeficientes triviales. Pero el mapa de restricción de $V$ es el compuesto de ese mapa con la función de transición.

Si tienes más de dos conjuntos abiertos en tu cobertura, entonces puedes iterar este procedimiento, pero los mapas de restricción ya no están entre la cohomología con coeficientes triviales y no se pueden identificar con los mapas de transición. Pero puedes calcular cuáles son en la etapa anterior.

Este es probablemente el camino a seguir para los sistemas locales. Para los haces vectoriales, no es tan agradable, ya que probablemente estás tratando de calcular un espacio vectorial de dimensión finita en una variedad completa, pero los conjuntos abiertos no son completos y por lo tanto tienen espacios de secciones de dimensión infinita. Pero si el haz está dado por funciones de transición, ésta puede ser su única opción.