Relación entre dominios integrales con campos de fracción isomórficos

Question

Si $A$ y $B$ son dominios integrales y tienen campos de fracción isomórficos de la fracción, ¿existe alguna relación entre $A$ y $B$ ?

La cuestión surge del caso particular en el que $A$ es un tipo finito $B$ -álgebra. Para este caso he elaborado lo siguiente, pero no me siento muy cómodo con mi argumento, especialmente al cambiar entre morfismos de anillos y de álgebras (no tengo mucha experiencia en álgebras conmutativas).

Dejemos que $A$ y $B$ sean dominios integrales tales que $A$ es un tipo finito (no nulo) $B$ -y el álgebra $A_{(0)} \cong_{Ring} B_{(0)}$ . Entonces $A_{(0)} \cong_{B\text{-algebra}} B_{(0)}$ .

El $B$ -morfismo de álgebra \begin{equation} B \to B[X_{1},...,X_{n}] \twoheadrightarrow A=\frac{B[X_{1},...,X_{n}]}{I} \hookrightarrow A_{(0)}=B_{(0)} \end{equation} envía \begin{equation} 1 \mapsto 1 \mapsto 1+I \mapsto 1 \end{equation} y por lo tanto, al ser una $B$ -morfismo de álgebra (esta es la parte que no pude resolver sin salir de la categoría de anillos) \begin{equation} b \mapsto b \mapsto b+I \mapsto b \end{equation} De la inyectividad de la última flecha deducimos

1. Para todos $b\in B\setminus \{ 0\}$ tenemos $b\notin I$ , como $b\neq 0$ en $B_{(0)}$ .
2. Para todos $i$ , si $X_{i}\notin I$ entonces $X_{i} + I \mapsto \frac{p_{i}}{q_{i}} \neq 0$ en $B_{(0)}$ . Así, $q_{i}X_{i}-p_{i}\in I$ .

Por lo tanto, $A=B[\frac{p_{1}}{q_{1}},...,\frac{p_{n}}{q_{n}}]=B_q$ donde $q$ es el producto del $q_{i}$ .

Así que $A \cong_{B\text{-algebra}} B_{q}$ y en particular $A \cong_{Ring} B_{q}$ .

¿Esta prueba es correcta? ¿Puedo cambiar de categoría así?

Nunca he visto a nadie haciéndolo, así que eso sugiere que no puedo. Y más preguntas:

¿Existe una prueba de esto usando sólo la categoría de anillos?

Creo que debería haber un diagrama fácil para demostrarlo usando sólo los epimorfismos involucrados aquí, pero no pude encontrarlo.

Volviendo a la pregunta más general, ¿podemos debilitar los supuestos de alguna manera? ¿Cuál es la afirmación más general que podemos obtener en esta situación?

He probado con Atiyah-Macdonald, Matsumura y Google. Lo más parecido que he encontrado es esta pregunta en StackExchange, pero realmente no ayuda a mi caso.

Answer 1

Dejemos que $A$ y $B$ sean dominios integrales. Decir que $B$ es un $A$ -es equivalente a dar un morfismo de anillo $\varphi \colon A \to B$ . Supongo que considera que el $A$ -sobre los campos de fracciones Frac $(A)$ y Frac $(B)$ inducido por $A \hookrightarrow \text{Frac} (A)$ y $A \stackrel{\varphi}{\to} B \hookrightarrow \text{Frac} (B)$ .

Un morfismo $\theta \colon \text{Frac} (A) \to \text{Frac} (B)$ de $A$ -con respecto a las $A$ -La estructura de álgebra descrita anteriormente es un morfismo de anillo tal que el siguiente diagrama conmuta:

Ahora reclamo lo siguiente:

Un inyectivo $A$ -morfismo de álgebra $\theta \colon \text{Frac} (A) \to \text{Frac} (B)$ existe si y sólo si $\varphi$ es inyectiva. Además, este morfismo $\theta$ es único, si existe.

Primero daré una prueba de la afirmación y luego trataré de explicar en qué falla su prueba.

Prueba: `` $\Rightarrow$ '': Supongamos que existe un monomorfismo $\theta \colon \text{Frac} (A) \to \text{Frac} (B)$ de $A$ -algebras, es decir, el diagrama $(\ast)$ los viajes al trabajo. Ahora $A \hookrightarrow \text{Frac} (A) \stackrel{\theta}{\to} \text{Frac} (B)$ es inyectiva, por lo que por conmutatividad, el mapa $A \stackrel{\varphi}{\to} B \hookrightarrow \text{Frac} (B)$ también es inyectiva. Por lo tanto, $\varphi$ es inyectiva.

`` $\Leftarrow$ '': A la inversa, supongamos que $\varphi$ es inyectiva. En este caso $A \stackrel{\varphi}{\to} B \hookrightarrow \text{Frac} (B)$ es inyectiva, por lo que por la propiedad universal del campo de fracciones existe un único $\theta \colon \text{Frac} (A) \to \text{Frac} (B)$ tal que el siguiente diagrama conmuta:

Desde $\theta$ es un morfismo de campos, es automáticamente inyectivo.

Desgraciadamente, la afirmación no puede extenderse a la subjetividad de forma ingenua:

• Toma $\varphi$ para ser la inclusión $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \hookrightarrow \mathbb{Z} [\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}]$ entonces la identidad $\text{id}$ es un $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ -de un campo de fracciones (común) $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ con respecto a $\varphi$ . Sin embargo, $\varphi$ no es sobreyectiva.

• Toma $\varphi$ para ser la inclusión $k [T^2] \hookrightarrow k [T]$ , donde $k$ es un campo. Los campos de fracciones son isomorfos como anillos a través de $$k[T] \to k [T^2], \quad T \mapsto T^2. $$ Pero desde la inclusión $k (T^2) \hookrightarrow k(T)$ es el único $k[T^2]$ -con respecto a $\varphi$ no puede haber un $k[T^2]$ -algebra isomorfismo $k(T^2) \to k(T)$ .

El segundo ejemplo anterior también es un contraejemplo de su afirmación. Creo que el problema de tu prueba es el paso $$ B [\tfrac{p_1}{q_1}, ..., \tfrac{p_n}{q_n}] = B_q, \quad \text{ using } q = \prod_{i = 1}^n q_i, $$ paralelamente a la situación de los subrings de $\mathbb{Q}$ (ver aquí ). La prueba de ello utiliza el hecho de que $\mathbb{Z}$ es un dominio de factorización único y falla, si se trabaja sobre un anillo sin esta propiedad:

Dejemos que $A = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$ y $\mathcal{O} = \mathbb{Z}[\frac{1 + \sqrt{-7}}{2}]$ . Tenemos $\text{Frac} (A) = \text{Frac} (\mathcal{O}) = \mathbb{Q}( \sqrt{-7})$ pero $\mathcal{O}$ no puede ser una localización de $A$ ya que $A^\times = \mathcal{O}^\times = \{ \pm 1\}$ .