Unión finita de subespacios propios de $\mathbb C^2$ puede ser igual a $\mathbb C^2$ ?

Question

Mi instructor de Álgebra Lineal nos dio un problema para pensar, pero estoy bastante inseguro sobre cómo abordarlo:

Dejemos que $V_1, V_2, ... V_{100}$ sea $100$ subespacios propios del espacio vectorial complejo $V=\mathbb C^2$ . ¿Es posible que $\bigcup _{i=1}^{100} V_i = \mathbb C^2$ ?

Answer 1

No, hay dos casos, todos $V_i$ son iguales, entonces la unión es un subespacio a, y uno propio. El segundo caso es que no todos los $V_i$ son iguales, entonces la unión de todos los $V_i$ no es cerrado bajo adición y no puede ser un espacio vectorial. He utilizado aquí que tenemos un espacio vectorial de 2 dimensiones sobre un campo infinito, por lo que tenemos un número infinito de subespacios.

Prueba el siguiente lema:
Dejemos que $U_1,U_2$ sean subespacios de un espacio vectorial $V$ entonces \U_1 \cup U_2 \N es un subespacio si es un subespacio si $U_1\subseteq U_2$ o $U_1 \supseteq U_2$

Answer 2

Si $V_i$ tiene como ecuación $l_i(z,w)=a_iz+b_iw=0$ , entonces el polinomio no nulo $P(z,w)=\prod^{100}_{i=1} l_i(z,w)$ de grado $100$ se desvanece en $\bigcup^{100}_{i=1} V_i$ .
Dado que un polinomio distinto de cero no puede desaparecer en el conjunto de $\mathbb C^2$ tenemos $\bigcup^{100}_{i=1} V_i\subsetneq \mathbb C^2$

Answer 3

Hay que tener cuidado, porque un espacio vectorial finito puede ser la unión de un número finito de subespacios propios. Por ejemplo, el espacio vectorial de dimensión dos sobre el campo con dos elementos es la unión de tres subespacios de dimensión uno.

Tenga en cuenta, en primer lugar, que cada $V_i$ se puede suponer que es unidimensional. Añade el subespacio $V_{0} = \{ (0, a) : a \in \Bbb{C} \}$ a la $V_{i}$ por si acaso, y supongamos que cada $V_i \ne V_0$ para $i \ne 0$ .

Luego, en cada $V_i$ (con $i \ne 0$ ) hay un único elemento de la forma $(1, a_i)$ . Elija un elemento $a \notin \{ a_i : i \in 1, \dots, 100 \}$ . (Aquí, por supuesto, estamos utilizando el hecho de que $\Bbb{C}$ es infinito). Entonces $(1, a) \notin \bigcup_{i=0}^{100} V_i$ Así que $V \ne \bigcup_{i=0}^{100} V_i$ .

Así que esto funciona para cualquier número finito de subespacios, y cualquier campo infinito.