¿Hay alguna forma de representar el interior de un círculo con una curva?

Question

Como ya sabes, el interior de un círculo se representa mediante una desigualdad. Por ejemplo,

$$x^2+y^2\leq1$$

para el círculo unitario. Hoy estaba pensando por mi cuenta y me pregunté si existe una curva que pueda representar cada punto dentro de un círculo. Tal vez con una espiral como esta,

Si no se puede representar perfectamente con una curva, ¿cuál sería la forma más cercana de representarla?

Esta pregunta se hace por mera curiosidad, puede ser completamente irrelevante o no tener sentido :)

Answer 1

Dado que topológicamente un disco y un cuadrado son lo mismo, la mayor parte de lo que se quiere saber sobre esto cae bajo el título de Curvas de relleno . En resumen, la respuesta a su pregunta principal es que el disco $D^2$ es la imagen del intervalo $[0,1]$ bajo un mapa continuo, pero no un mapa continuo de uno a uno (sin intersección). Así que depende de lo que se entienda exactamente por curva.