Prueba $\sin(x)\cos(2kx) = [\sin((2k+1)x)-\sin((2k-1)x)]/2$ ?

Question

Estoy tratando de calcular la siguiente integral relacionada con la serie de fourier $$4/\pi\int_0^{\pi/2} \sin(x)\cos(2kx) \, dx .$$

Lo introduje en una calculadora integral online y quise ver la solución paso a paso. El primer paso fue utilizar la ecuación $$\sin(x)\cos(2kx) = \frac{\sin((2k+1)x)-\sin((2k-1)x)}2.$$ ¿Por qué se mantiene?

Answer 1

Sugerencia . Desde $$ \sin(a+b)=\sin a \cos b+\sin b \cos a $$$$ \sin(a-b)=\sin a \scos b-\sin b \scos a $$ one gets $$ 2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b). $$

Answer 2

Puedes usar esto para probar: $$e^{x+iy}=e^x(cosy+isiny)\\e^{y+ix}=e^y(cosx+isinx)\\e^{(x+y)+i(x+y)}=e^{x+y}{[cos(x+y)+isin(x+y)]}$$