¿Es un grupo un semigrupo con identidad derecha única e inversa izquierda?

Question

Sabemos que un semigrupo con una identidad derecha y una inversa derecha para todos los elementos es un grupo (por ejemplo, véase aquí ). Simétricamente, también una identidad izquierda junto con una inversa izquierda implica un grupo. También sabemos que un semigrupo con una identidad derecha y una inversa izquierda NO es necesariamente un grupo (véase aquí ). Mis preguntas son:

1. en un semigrupo, ¿es suficiente la existencia de una identidad derecha ÚNICA junto con la existencia de una inversa izquierda para tener un grupo?
2. en un semigrupo, ¿es suficiente la existencia de una identidad derecha junto con la existencia de una inversa izquierda ÚNICA para tener un grupo?

Creo que ambas afirmaciones son falsas, pero hasta ahora no he encontrado ningún ejemplo contrario.

Answer 1

Como se ha demostrado en un comentario, (2) no se cumple. Sin embargo, (1) sí.

Dejemos que $e$ sea la única identidad derecha, y para cualquier $x$ , dejemos que $x'$ denotan un inverso de la izquierda.

Para cualquier $x$ , $$ e = x''x' = x''ex' = x''x'xx' = ex x'. $$ Por lo tanto, para cualquier $y$ , $$ y = ye = yexx' = y xx', $$ que muestra que $xx'$ es una identidad correcta. Ya que es única, $xx' = e$ . Por lo tanto, cada elemento $x$ tiene un inverso de dos lados.

Por último, para cualquier $x$ , $$ ex = xx'x = xe = x, $$ así que $e$ es una identidad de dos caras y el semigrupo es un grupo.