Calcule el límite dado como $x$ se acerca a $\infty$

Question

Si $f(x) = 8x^3+3x$ entonces, $$\lim_{x \to \infty} \frac{f^{-1}(8x)-f^{-1}(x)}{x^{1/3}}$$ ¿es?

Mi intento: Está claro que la función no se puede invertir fácilmente. Por lo tanto, debe haber algo en el límite dado a sí mismo que puede simplificar el problema.

Sinceramente, no tengo ni idea de qué hacer aquí.

Hay algunas cosas que pude ver es que la función sólo tiene $1$ raíz(es decir $0$ ) y es biyectiva en $x \in \mathbb R$ . Pero eso no dio ningún beneficio, excepto mostrar que la inversa de la función existe.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Su límite equivale a $$ \lim_{b \to \infty} \frac{f^{-1}(8f(b))-f^{-1}(f(b))}{f(b)^{1/3}}=\lim_{b \to \infty} \frac{f^{-1}(8f(b))-b}{(8b^3+3b)^{1/3}} $$ [véase también esta respuesta para un problema similar].

Ahora, define $g(b)$ como $$ 8f(b)=f(g(b))\qquad (\star)\ , $$ entonces su límite es $$ \lim_{b \to \infty} \frac{g(b)-b}{(8b^3+3b)^{1/3}} $$ y todo lo que necesitas es el comportamiento lineal $g(b)\sim \theta b$ para $b\to\infty$ para llegar a la conclusión de que su límite es $(\theta-1)/2$ .

Desde $(\star)$ $$ 8(8b^3+3b)=8g^3+3g\ , $$ y sustituyendo por el ansatz $g(b)\sim \theta b$ vemos que esta ansatz sólo es compatible con lo anterior si $\theta=2$ .

Answer 2

Considere la ecuación $$y=8x^3+3x$$ Como dices, sólo hay una raíz real que viene dada por $$x(y)=\frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{2} \sqrt{2 y^2+1}+2 y}}{2^{2/3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{\sqrt{2} \sqrt{2 y^2+1}+2 y}}\right)$$ Ahora, tedioso pero factible, para cada pieza, utilice la expansión de Taylor para valores infinitamente grandes de $y$ para conseguir $$x(8y)=\sqrt[3]{y}-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{y}}}{8}+O\left(\frac{1}{y^{4/3}}\right) $$ $$x(y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{2}-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{y}}}{4}+O\left(\frac{1}{y^{4/3}}\right)$$ $$x(8y)-x(y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{2}+\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{y}}}{8}+O\left(\frac{1}{y^{4/3}}\right)$$ mostrará el límite y también cómo se aborda.

Editar

Puede ser complicado pero sin series de Taylor para la raíz de la ecuación cúbica. Consideremos que, para valores grandes de $x$ $$8x^3+3x=8 x^3+3 x+O\left(\frac{1}{x}\right)$$ Ahora, la reversión de la serie da $$x(y)=\frac{\sqrt[3]{y}}{2}-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{y}}}{4}+O\left(\frac{1}{y}\right)$$ y continuar para obtener el mismo resultado.

Answer 3

Dejemos que $f(a) =x, f(b) =8x$ para que $a, b$ son funciones de $x$ que tienden al infinito con $x$ y $$8a^3+3a=x,8b^3+3b=8x\tag{1}$$ Al restar obtenemos $$(b-a)(8a^2+8b^2+8ab+3)=7x$$ y se supone que debemos evaluar el límite de $(b-a) /x^{1/3}$ que es el mismo que el de $$\frac{7x^{2/3}}{8(a^2+b^2+ab)}\tag{2}$$ Al mismo tiempo, hay que tener en cuenta que $(1)$ implica $$\frac{b(8b^2+3)}{a(8a^2+3)}=8$$ y tomando los límites como $x\to\infty$ de la ecuación anterior observamos que $a, b$ también tienden a $\infty$ y por lo tanto tenemos $$\lim_{x\to\infty} \frac{b^3}{a^3}=8$$ o $b/a\to 2$ . Además, hay que tener en cuenta que desde $(1)$ tenemos $x/b^3\to 1$ . Utilizando estos límites podemos ver inmediatamente que el límite de $(2)$ es $1/2$ .