Confusión en la prueba del lema del marcador 2.1.14, $T \vDash \phi \implies \exists \Delta \subseteq T, |\Delta| \in \mathbb{N} \land \Delta \vDash T$

Question

He aquí el lema 2.1.14 de la Teoría de los Modelos de Marker reformulado exactamente,

$$ \textit{If $ \ T \vDash \phi $, then $ \Delta \vDash T $ for some finite $ \Delta \Subseteq T $.} $$

Para asegurarme de que lo entiendo bien, volveré a exponer el lema con mis propias palabras:

Dejemos que $T$ ser un $\mathcal L$ -teoría, y $\phi$ y $\mathcal L$ -sentencia donde $T \vDash \phi$ . Entonces existe un subconjunto finito $\Delta$ de $T$ donde $T$ es una consecuencia lógica de $\Delta$ Es decir, $\Delta \vDash T$ .

La prueba proporcionada de este lema es muy corta, así que la reproduciré exactamente también:

Supongamos que no. Dejemos que $\Delta \subseteq T$ ser nite. $\color{red}{\underline{\text{Because $ \N - Delta \N - No \N - Guión \N - Phi $}}}$ , $\Delta \cup \{\neg \phi\}$ es satisfactoria. Así, $T \cup \{\neg\phi\}$ es nítidamente satisfecha y, por el teorema de la compacidad Teorema, $T \not \vDash \phi$ .

He resaltado en rojo y subrayado la parte que no puedo entender. Con "Supongamos que no", estamos fijando un $\phi$ y asumiendo que $T \vDash \phi$ pero que para todo finito $\Delta$ tenemos $\Delta \not \vDash T$ . Es decir, para cada $\Delta$ Hay algunos $\varphi_{\Delta} \in T$ , donde $\Delta \not \vDash \varphi_{\Delta}$ . No tengo ni idea de cómo podemos afirmar que $\Delta \not \vDash \phi$ ya que se fija en el momento de "Suponer que no". La forma en que está estructurada la prueba, al suponer la negativa por contradicción, parece implicar que para todo finito $\Delta \in T$ tenemos $\Delta \not \vDash \phi$ que no entiendo.

Los demás pasos de la prueba están bien por lo que veo. Pero no estoy seguro de si el error está en mi malentendido o si el error está en el texto, ya que este texto tiene un número de errores .

Si alguien puede aclarar este paso específico en la prueba que sería muy apreciado.

Answer 1

Como se indica en los comentarios, se trata de una errata y la conclusión debería ser $\Delta\models \phi.$ Dice que si una frase es una consecuencia lógica de una teoría, entonces hay una subteoría finita de la que es una consecuencia lógica.

Esto es más fácil de entender desde el punto de vista deductivo. Si una frase es demostrable a partir de $T,$ entonces, como las pruebas son finitas, sólo utiliza un número finito de supuestos de $T,$ y por tanto es demostrable desde una subteoría finita. Y el teorema de completitud dice que $T\models \phi$ si y sólo si $\phi$ es demostrable a partir de $T.$