cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ que está en algún lugar denso no tiene topología de subespacio discreto

Question

Esta es la pregunta:

Supongamos que $\mathbb{R}$ tiene la topología inducida por el valor absoluto métrico. Entonces cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ que está en algún lugar denso no no tiene la topología del subespacio discreto.

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Aquí está mi intento de comienzo de una prueba:

Dejemos que $A$ estar en algún conjunto denso en $\mathbb{R}$ . Entonces, por definición $(\text{Cl } A)^{\circ} \ne \emptyset$ es decir, existe un conjunto abierto no vacío $U$ contenida en $\text{Cl } A$ . Afirmamos que $A \cap U$ no está vacío. Supongamos que $x \in U$ entonces $x \in \text{Cl } A$ y, en consecuencia, cada barrio de $x$ se encuentra con $A$ y así, $U \cap A$ no está vacío.

Dejemos que $y \in U\cap A$ . Afirmamos que $\{ y \}$ no está abierto en $A$ . Supongamos que $\{ y \}$ estaban abiertos, entonces $\{ y \} = A \cap U'$ para algún conjunto abierto $U'$ en $\mathbb{R}$ .

¿Puede alguien darme alguna pista a partir de aquí o proporcionar una prueba alternativa?

Answer 1

Supongamos que $\{y\}$ estaban abiertos, entonces $\{y\} = A \cap U'$ para algún conjunto abierto $U' \subset \mathbb R$ . Sustitución de $U'$ por $U' \cap U$ podemos suponer $U' \subset U$ . Es decir, $U' \subset \operatorname{Cl}(A)$ .

Anteriormente, ha demostrado (esencialmente) que todo subconjunto abierto de $\mathbb R$ contenida en $\operatorname{Cl}(A)$ tiene una intersección no vacía con $A$ . Ahora aplica esto al conjunto abierto...

$U' - \{y\}$

... para obtener una contradicción con la suposición de que...

$U' \cap A = \{y\}$ .