$X,Y \sim N(0,1)$ que es la distribución de $W = \frac X Y$ ?

Question

El problema: Dejemos que $X,Y \sim N(0,1)$ variables aleatorias independientes.

Cuál es la distribución de $W = \frac X Y$ ?

Intento: Sucede algo extraño. De hecho $$ \mathbb P\left(\frac X Y \leq c\right) = \mathbb P(X -cY \leq 0) = \mathbb P(N(0,c^2+1) \leq 0)= \frac 1 2 $$ lo cual es imposible. ¿Qué pasa?

Answer 1

La región del plano en la que $X/Y\le c$ es aquella en la que $X\le cY$ si $Y>0$ y $X\ge cY$ si $Y<0.$ En coordenadas polares, la mitad de esa región está descrita por $\pi > \theta > \arctan (1/c),$ si $c>0,$ y la otra mitad tiene la misma probabilidad asignada, así que dupliquemos la probabilidad asignada al caso $Y>0.$

La medida de probabilidad es $\displaystyle \frac 1 {2\pi} e^{-(x^2+y^2)/2} \, dx \, dy.$ En coordenadas polares se convierte en $\displaystyle \frac 1 {2\pi} e^{-r^2/2} r\,dr\,d\theta.$ Por lo tanto, $$ \Pr\left( \frac X Y \le c \right) = \frac 1 {2\pi} \int_{\arctan(1/c)}^\pi \int_0^\infty e^{-r^2/2} r\,dr\,d\theta = \frac 1 \pi \left(\pi - \arctan\frac 1 c \right). $$ Diferenciando con respecto a $c,$ obtenemos la densidad: $$ \frac 1 {\pi(1+c^2)}, $$ es decir, se trata de una distribución Cauchy estándar.

Answer 2

Su 2ª igualdad es errónea ya que se ha comportado como un valor constante con $Y$ . Deberías haber escrito: $$\Bbb P( X \leq cY)=\int_{-\infty}^\infty P( X \leq cY \mid Y=y)f_Y(y) \, dy=\int_{-\infty}^\infty P( X \leq cy)f_Y(y)\,dy=\int_{-\infty}^\infty (1-Q(cy))f_Y(y)\,dy=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^\infty (1-Q(cy)) e^{-y^2/2} \, dy$$ No creo que podamos ir más allá porque esta integral no tiene forma cerrada.

Answer 3

Sabes que X~N(0,1) por lo que conoces la función de densidad de X (fx(x)). También sabes que Y~N(0,1) por lo que conoces fy(y). Además, sabes que X e Y son independientes, por lo que conoces la función de densidad de f_(X, Y)(x, y) (es decir, f_(X, Y)= fx(x)*fy(y)). Ahora necesitas calcular la función de distribución de X/Y así que lo que vas a hacer es P( W<= c) = P(X/Y <= c) = P(X<= Yc) y ahora necesitas calcular la integral doble donde: y estará en todo R y x estará limitada por (-infinito, xc).