Usando los primeros principios encuentra la derivada de ln(sec(x))

Question

La cuestión es utilizar sólo los primeros principios.

Así que empecé con lo mismo y obtuve

$$ y = \ln(\sec(x)) $$ $$ \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln(\sec(x+h)) - \ln(\sec(x))}{h} $$

después de esto no entiendo como elimino el $h$ en el denominador. He intentado aplicar $\ln(A) - \ln(B) = \ln\bigl(\frac{A}{B}\bigr)$ que en última instancia condujo a

$$ \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln\bigl(\frac{\sec(x+h)}{\sec(x)}\bigr)}{h} $$

aquí me convertí $\sec()$ a $\cos()$

$$ \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln\bigl(\frac{\cos(x)}{\cos(x+h)}\bigr)}{h} $$

Aún así, no puedo seguir adelante.

Answer 1

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(\sec(x+h)) -\ln(\sec(x))}{h} $$

Utilizando $\ln(A) - \ln(B) = \ln(\frac{A}{B})$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(\frac{\sec(x+h)}{\sec(x)})}{h} $$

cubriendo $\sec(x)$ a $\cos(x)$ utilizando $\cos(x) = \frac{1}{\sec(x)}$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(\frac{\cos(x)}{\cos(x+h)})}{h} $$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(1+\frac{\cos(x)}{\cos(x+h)}-1)}{h} $$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(1+\frac{\cos(x) - \cos(x+h)}{\cos(x+h)})}{h} $$

multiplicar y dividir por $\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(1+\frac{\cos(x) - \cos(x+h)}{\cos(x+h)})}{h}\frac{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}}{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}} $$

reposicionamiento

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(1+\frac{\cos(x) - \cos(x+h)}{\cos(x+h)})}{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}}\frac{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}}{h} $$

límite de separación

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\ln(1+\frac{\cos(x) - \cos(x+h)}{\cos(x+h)})}{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}}\lim_{h\to0} \frac{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}}{h} $$

Como $h$ se acerca a 0 también lo hace $\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}$ ya que el numerador empieza a acercarse a $0$ . ( $\cos(x) - \cos(x)$ )

supongamos que $t = \frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}$ y por lo tanto t se acerca a $0$ cuando $h$ se acerca a $0$

de ahí que la ecuación resulte ser

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{t\to0} \frac{\ln(1+t)}{t} \lim_{h\to0} \frac{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}}{h} $$

Utilizando el límite estándar $\lim_{x\to0} \frac{ln(x+1)}{x} = 1$

Por lo tanto,

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{\cos(x+h)}}{h} $$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\cos(x)-\cos(x+h)}{h\cos(x+h)} $$

Aplicando $\cos(A) - \cos(B) = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{-2\sin(\frac{2x+h}{2})\sin(\frac{-h}{2})}{h\cos(x+h)} $$

Llevar la $-2$ abajo

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\sin(\frac{2x+h}{2})\sin(\frac{-h}{2})}{\frac{-h}{2}\cos(x+h)} $$

reordenando

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\sin(\frac{2x+h}{2})}{\cos(x+h)} \lim_{h\to0} \frac{\sin(\frac{-h}{2})}{\frac{-h}{2}} $$

Utilizar el límite estándar $\lim_{x\to0} \frac{sin(x)}{x} = 1$

Por lo tanto,

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \lim_{h\to0} \frac{\sin(\frac{2x+h}{2})}{\cos(x+h)} $$

Poniendo $h = 0$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \frac{\sin(\frac{2x}{2})}{\cos(x)} $$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$

$$ \frac{d}{dx}\ln\sec(x) = \tan(x) $$

Answer 2

$\displaystyle \frac{d}{dx} {\ln(\sec x)}=\lim_{h \to 0} \frac{-ln(\frac{\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h)}{\cos(x)})}{h}$

$\displaystyle= \lim_{h \to 0} \frac{-\ln{(\cos h-\tan x \sin h)}}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h \to 0} \frac{-\ln[({1- \tan x \tanh)(\cos h)}]}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h \to 0} \frac{-\ln({1- \tan x \tanh)}-\ln{\cos h}}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h \to 0} -\frac{\ln({1- \tan x \tanh)}}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\ln{\cos h}}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h \to 0} {\frac{\ln({1+(-\tan x \tan h))}}{-\tan x \tan h}}{\frac{\tan x \tan h}{h}}-\lim_{h \to 0} {\frac1{\cos h}}{(-\sin h)}$ (Utilizando la regla de L'hopital, ya que ${\ln{\cos h}}\to 0, {h}\to 0$ )

$\displaystyle=\lim_{\tan x \tan h \to 0} {\frac{\ln({1+(-\tan x \tan h))}}{-\tan x \tan h}} \lim_{h \to 0} {\frac{\tan x \tan h}{h}}+\lim_{h \to 0} {\tan h} \; (\because h \to 0 \implies \tan h \to 0 \implies \tan x \tan h \to 0)$

$\displaystyle=1. \tan x \lim_{h\to 0} \frac{\tan h}{h} +0 \;(\because \lim_{y\to 0} {\ln{(1+y)} \over y}=1)$

$\displaystyle= \tan x \lim_{h\to 0} \sec^2{h}=\tan x . 1$ (Utilizando la regla de L'hopital, ya que ${\tan h}\to 0, {h}\to 0$ )

$=\tan x$

Answer 3

No estoy seguro de que esto esté en el espíritu de la pregunta, pero también podemos intentar demostrar la regla de la cadena en el caso especial $(\ln \circ \sec)'(a)=\ln'(\sec a) \cdot \sec'(a)$ . Tenga en cuenta que $$ \lim_{x \to a}\frac{\ln(\sec x)-\ln(\sec a)}{x-a}=\lim_{x \to a}\frac{\ln(\sec x)-\ln(\sec a)}{\sec x-\sec a} \cdot \lim_{x \to a}\frac{\sec x-\sec a}{x-a} \label{*}\tag{*} \, . $$ Para el primer límite en el lado derecho de $\eqref{*}$ podemos hacer la sustitución $u=\sec x$ . Como $x\to a$ , $u\to\sec a$ y así $$ \lim_{u \to \sec a}\frac{\ln(u)-\ln(\sec a)}{u-\sec a}=\ln'(\sec a)=\frac{1}{\sec a} $$ Dado que el segundo límite en el lado derecho es $\sec'(a)=\sec(a)\tan(a)$ , obtenemos que $$ (\ln \circ \sec)'(a)=\tan(a) \, . $$