Error de aproximación de la suma

Question

Estoy viendo uno de los cursos de probabilidad online y en una de las clases, el profesor simplifica la suma:

$$A = \sum_{j=0}^{N}\frac{j^k}{N^k} \cdot \frac{1}{N+1}$$

de la siguiente manera: $A \approx \int_{0}^{1}x^kdx=\frac{1}{k+1}$

El problema es que, en mi opinión, la simplificación debería funcionar de la siguiente manera:

$$A = \frac{1}{N+1} \cdot \sum_{j=0}^{N}\frac{j^k}{N^k} $$ y entonces si uno hará una sustitución $x = \frac{j}{N}$ entonces $$A \approx \frac{1}{N+1} \cdot \int_{0}^{1}x^kdx$$ y haciendo completamente lo mismo terminaré con $$A = \frac{1}{N+1} \cdot \frac{1}{k+1}$$

No puedo averiguar dónde está mi problema aquí.

Answer 1

Utilizando las sugerencias dadas hasta ahora, observe que el papel de $\Delta x_i$ es interpretado por $\frac{1}{N+1}$ .

Así que cuando escriba

$$A = \sum_{j=0}^{N}\frac{j^k}{N^k} \cdot \frac{1}{N+1}$$ mantener el término que implica $N+1$ dentro de la suma en lugar de sacarla fuera como hiciste, y deja que $ \frac{j^k}{N^k} $ desempeñar el papel de $f(w_i)$ . Entonces tal vez vea cómo llegar a la aproximación dada por su profesor. Y ya que sólo vamos a una aproximación aquí, será lo suficientemente cerca si $N$ es lo suficientemente grande.

Answer 2

SalmonKiller dio un buen punto y no lo repetiré. Sin embargo, uno podría notar que $$A_{k,N} = \sum_{j=1}^{N}\frac{j^k}{N^k} \cdot \frac{1}{N+1}=\frac{ H_N^{(-k)}}{(N+1)N^k}$$ donde aparecen los números armónicos. Expandiendo como series para valores grandes de $N$ entonces tenemos $$A_{k,N}=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1}}{N}+O\left(\left(\frac{1}{N}\right)^2\right)\right)+ \frac{\zeta (-k)}{N^k} \left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N^2}+O\left(\left(\frac{1}{N}\right)^3\right)\right)$$ Por lo tanto, si $k>1$ , $$A_{k,N} \approx\frac{1}{k+1}+\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{k+1}}{N}=\frac{1}{k+1}\Big(1-\frac 1N\Big)+\frac 1{2N}$$

Probemos con números pequeños $A_{5,10}=\frac{803}{4000}$ mientras que la aproximación da $\frac{800}{4000}$ .

Answer 3

Bueno, la cuestión es que $\sum_{j=0}^{N}f(x) \neq \int_{0}^{1}f(x) dx$ . Una suma de Riemann se define como $$\sum_{i=1}^{\infty}f(w_i)\Delta x_i$$ En su caso $N \neq \infty$ . Así que no hay manera de que esto sea una construcción de la suma de Riemann de la integral definida.