$\zeta:eM\to eR\otimes_R M$ es un isomorfismo de grupo

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo, $e\in R, e\neq0$ sea un elemento idempotente (es decir $e^2=e$ ). Sea $_RM$ ser una izquierda $R$ -módulo.

Tengo que demostrar que $$ \zeta:eM\to eR\otimes_R M $$ definida por $em\mapsto e\otimes m$ es un isomorfismo de grupo.

Se demuestra fácilmente que es un morfismo de grupo y que es suryente.

Mi problema es la inyectividad: Tengo que demostrar que $\zeta(em)=0_{eR\otimes_R M}\Longrightarrow em=0_{eM}$ Es decir $m=0$ .

Ahora

\begin{align*} \zeta(em)=0_{eR\otimes_R M} \Longleftrightarrow e\otimes m=0_{eR\otimes_R M} \end{align*} a partir de esto, ¿cómo puedo demostrar que $m=0$ (suponiendo que $e\neq0$ )?

En general, dados dos módulos $M,N$ (derecha e izquierda respectivamente) no es cierto que $m\otimes n=0$ si al menos uno entre $m$ y $n$ es cero (piense en $\Bbb Q\otimes_{\Bbb Z}\Bbb Z_n$ )... pero creo que en este caso, las cosas van a ser un poco diferentes.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Observación: lo que hay que demostrar es que $em = 0$ No es que $m = 0$ . (Esta última afirmación no siempre será cierta).

Tenemos un mapa $eR \otimes M \to R \otimes M = M$ inducido por el mapa $eR \to R$ y este mapa satisface $e \otimes m \mapsto em$ . De ello se desprende que la composición $eM \stackrel{\zeta}{\to} eR \otimes M \to M$ es sólo la inclusión de $eM$ en $M$ y es en particular inyectiva. Así, $\zeta$ ya era inyectiva.