Mi problema tiene la hipótesis de que cada subespacio de V es T-invariante (con T un operador lineal sobre V). Entonces tengo que demostrar que T es un multiplicador escalar del operador identidad. Hay algunas preguntas sobre la prueba aquí:
Sea T un operador lineal sobre V. Si cada subespacio de V es invariante bajo T, entonces T es un múltiplo escalar del operador identidad. Si todo subespacio de V es invariante de T, demuestre que T es un múltiplo del mapa de identidad.
Mi pregunta no es sobre cómo probarlo, mi pregunta es sobre un paso que no entiendo y creo que es algo conceptual que no estoy entendiendo bien:
Sea una base ${\alpha_{i}}$ de V. Entonces, el subespacio generado por un vector $\alpha_{i}$ (combinaciones lineales de $\alpha_{i}$ ) satisface $T\alpha_{i}=c_{i}\alpha_{i}$ Esto se debe a que todos los subespacios de $V$ es $T$ -invariante. (con $c_{i}$ un escalar)
Mi duda está aquí:
Si ahora tomamos el subespacio generado por $\left \{ \alpha_{i},\alpha{j} \right \}$ entonces $T(\alpha_{i}+\alpha{j})=T\alpha_{i}+T\alpha_{j}=c_{i}\alpha_{i}+c_{i}\alpha_{j}$
Pero no sé cómo utilizar el hecho de que el subespacio es T-invariante para concluir eso: $T(\alpha_{i}+\alpha{j})=\lambda(\alpha_{i}+\alpha_{j})$ (con $\lambda$ un escalar)
Entiendo que $T(\alpha_{i}+\alpha{j})$ está en span $(\alpha_{i},\alpha{j})$ pero eso implica que $T(\alpha_{i}+\alpha{j})$ es igual a una combinación lineal de $\alpha_{i}$ y $\alpha{j}$ Es decir: $c_{i}\alpha_{i}+c_{i}\alpha_{j}$ .
Lo que no entiendo es por qué podemos decir $T(\alpha_{i}+\alpha{j})=\lambda(\alpha_{i}+\alpha_{j})$ (con $\lambda$ un escalar)
Aprecio mucho su ayuda
