Un contraejemplo que muestra la inclusión $\{x_{0}\}\hookrightarrow X$ es una equivalencia de homotopía pero $\{x_{0}\}$ no es una deformación retraída de X

Question

Este es el ejercicio de la sección 58 del ejercicio 8 de Munkres.

Encontrar un espacio $X$ y un punto $x_{0}$ de $X$ de manera que la inclusión $\{x_{0}\}\hookrightarrow X$ es una equivalencia de homotopía pero $\{x_{0}\}$ no es una deformación retraída de $X$ .

Munkres da alguna pista como la siguiente:

Dejemos que $X$ sea el subespacio de $\mathbb{R}^{2}$ que es la unión de los segmentos de línea $(1/n)\times [0,1]$ , para $n\in\mathbb{Z}_{+}$ el segmento de línea $0\times [0,1]$ y el segmento de línea $[0,1]\times 0$ ; deja que $x_{0}$ sea el punto $(0,1)$ . Si $\{x_{0}\}$ es una deformación retraída de $X$ y demostrar que para cualquier vecindad $U$ de $x_{0}$ el componente de la trayectoria de $U$ que contiene $x_{0}$ debe contener una vecindad de $x_{0}$ .

Entonces intenté seguir la pista para hacer este ejercicio. Sin embargo, es incluso difícil de probar la inclusión $i:\{x_{0}\}\hookrightarrow X$ es una equivalencia homotópica.

Dejemos que $r:X\longrightarrow \{x_{0}\}$ sea la retracción de $X$ en $\{x_{0}\}$ definirlo como $r(x):=x_{0}$ para todos $x\in X$ . Entonces, está claro que $r\circ i=Id_{\{x_{0}\}}$ .

Sin embargo, sin la convexidad, es difícil mostrar $i\circ r\sim Id_{X}$ . Por lo tanto, el problema se reduce a cómo mostrar tal $X$ es convexo?

Ahora, supongamos por contradicción que $\{x_{0}\}$ es una deformación retraída de $X$ entonces existe un mapa continuo $F:X\times [0,1]\longrightarrow X$ tal que $H(x,0)=x$ y $H(x,1)=x_{0}$ para todos $x\in X$ y $H(x_{0},t)=x_{0}$ para todos $t\in[0,1]$ .

Entonces realmente no sé cómo proceder..

Además, aunque haya mostrado la pista, ¿dónde estaría la contradicción?

Puede que necesite una respuesta con detalles, ya que no estoy muy familiarizado con el componente de ruta.

Gracias.

Answer 1

Primero, $X$ es claramente no convexo. Eso es obvio en una imagen, y también es necesario ya que cualquier punto de un conjunto convexo es una deformación retraída del conjunto.

La diferencia clave entre la "equivalencia de homotopía" (que se quiere que sea verdadera) y el "repliegue de deformación" (que se quiere que sea falso) es que para la primera se necesita una homotopía del mapa de identidad de $X$ a $i\circ r$ (el mapa constante que envía todos los $X$ al grano $x_0$ ), mientras que para esta última se necesita una homotopía que nunca se mueva $x_0$ .

El primero es bastante fácil, a pesar de la falta de convexidad. Primero hay que deformar todos los puntos de $X$ directamente hacia abajo en $[0,1]\times0$ y luego deformarlo horizontalmente hasta el punto $(0,0)$ Finalmente, deslice ese punto hasta $x_0$ .

Lo principal que hay que demostrar es que no se puede obtener dicha homotopía sin mover $x_0$ . El ingrediente clave de esa prueba será que, porque $x_0$ es impasible, puntos muy cercanos $(\frac1n,1)$ no puede moverse muy lejos, por lo tanto no puede bajar a $[0,1]\times 0$ y por lo tanto nunca puede llegar a $x_0$ (o a cualquier punto del $y$ -eje).