Confusión en el ejercicio de la forma bilineal simétrica

Question

Estoy tratando de resolver un ejercicio sobre la forma bilineal simétrica $f(A,B)=\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B-n\operatorname{tr}AB$ . Ya he comprobado que $V^\perp, \!^\perp V$ son las matrices escalares. Ahora debo calcular $\operatorname{rank}f$ . He pensado en calcular la matriz de representación $(f(E_{k\ell},E_{\mu\nu}))$ .

Ahora

1. $\operatorname{tr}E_{k\ell}E_{\mu\nu}=\sum_j\sum_i\delta_{\ell k}(ij)\delta_{\nu\mu}(ji)\neq 0\iff\mu=\ell$ y $\nu=k$ ;
2. $\operatorname{tr}E_{k\ell}\operatorname{tr}E_{\mu\nu}\neq 0\iff k=\ell,\mu=\nu$ .

Creo que queremos el XOR de estas condiciones, pero no sé cómo proceder...

Además, necesito encontrar el rango de la restricción de $f$ a matrices con traza cero, en cuyo caso sólo necesito $\operatorname{tr}E_{k\ell}E_{\mu\nu}=\sum_j\sum_i\delta_{\ell k}(ij)\delta_{\nu\mu}(ji)\neq 0$ que tiene, creo, $n^2$ opciones.

La respuesta a ambas preguntas es $n^2-1$ Me lo han dicho, ¡así que agradecería algo de ayuda!

Answer 1

Consideremos primero la forma bilineal simétrica $g(A,B) = \operatorname{tr}(AB)$ en el subespacio

$$W := \{ A \in M_n(\mathbb{C}) \, | \operatorname{tr}(A) = 0 \}. $$

Si $\operatorname{tr}(A) = 0$ entonces $\operatorname{tr}(A^{*}) = \sum_{i=1}^n \overline{a_{ii}} = \overline{\sum_{i=1}^n a_{ii}} = \overline{\operatorname{tr}(A)} = 0$ y así $A^{*} \in W$ y tenemos

$$ g(A^{*},A) = \operatorname{tr}(A^{*}A) = \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2. $$

Así, si $A \neq 0$ entonces $g(A^{*},A) \neq 0$ y $g$ es no degenerado y por tanto tiene rango $\dim W = n^2 - 1$ .

Volviendo a $f$ tenemos $f|_{W} = -n g$ y así $f|_{W}$ también es no degenerado y tiene rango $n^2 - 1$ . Por último, si elegimos una base $A_1,\dots,A_{n^2 - 1}$ para $W$ y establecer $A_{n^2} = I$ obtenemos una base para $M_n(\mathbb{C})$ con respecto a la cual la forma $f$ está representada por una matriz de la forma

$$ \begin{pmatrix} C_{(n-1) \times (n-1)} & 0_{(n-1) \times 1} \\ 0_{1 \times (n-1)} & 0 \end{pmatrix} $$

donde $C$ es la matriz que representa $f|_{W}$ con respecto a la base $(A_1, \dots, A_{n^2-1})$ . Así, $f$ también tiene rango $n^2 - 1$ .