Una modificación de la relación de recurrencia catalana

Question

¿Cómo se puede demostrar que la secuencia $(a_{n})_{n\geq0}$ satisfaciendo la recurrencia $$(n+1)a_{n} - r(r-1)(r(n-1)+1)a_{n-1}=0\quad a_{0}=1 \quad r \geq 2 \in \mathbb{N}$$ es siempre una secuencia de enteros para cualquier $r$ ?

En este caso, la recurrencia para los números catalanes (que son enteros) viene dada por $r=2$ : $(n+1)a_{n} - 2(2(n-1)+1)a_{n-1}=(n+1)a_{n} - (4n-2)a_{n-1}=0\quad a_{0}=1$

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Como se señala en el comentario $$a_{n}=\dfrac{((r - 1) r^2)^n \left(n + \dfrac{1}{r}\right)}{(n + 2) \left(\dfrac{1}{r}\right)}$$ Utilizando la fórmula que se encuentra en https://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_gamma_function $$\left(n + \dfrac{1}{r}\right)=\left(\dfrac{1}{r}\right)\dfrac{(rn-r+1)!^{(r)}}{r^n}$$ donde $(n)!^{(r)}$ es el $r^{th}$ multifactorial de $n$ .

Por lo tanto, para $n\in \mathbb{N}_{0}$ y $r\geq 2 \in \mathbb{N}$

$$a_{n}=\dfrac{(r-1)^{n}r^{n}(r(n-1)+1)!^{(r)}}{(n+1)!}$$

Así, el problema se reduce a demostrar que $(n+1)!$ divide $(r-1)^{n}r^{n}(r(n-1)+1)!^{(r)}$

La motivación de la pregunta surge de un experimento computacional para encontrar aproximaciones racionales $\dfrac{p_{n}}{q_{n}}$ a $\left(\dfrac{1}{r}\right)$ buscando una prueba de la irracionalidad de este número.

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Actualización: La siguiente fórmula puede ser generalizada a niveles superiores $r$ pero nos ocuparemos de $r=3$ para simplificar:

$$a_{n}=\dfrac{2^{n}3^{n}(3n-2)!^{(3)}}{(n+1)!}$$

Por la definición de lo multifactorial:

$$(3n-2)!^{(3)}(3n-1)!^{(3)}(3n)!^{(3)}=(3n)!$$

y

$$(3n)!^{(3)}=\prod_{i=1}^{n} 3i=3^{n}n!$$

Así que,

$$3^n(3n-2)!^{(3)}=\dfrac{1}{(3n-1)!^{(3)}}\dfrac{3n!}{n!}$$

Introduciendo esto en la primera expresión

$$a_{n}=\dfrac{2^{n}}{(3n-1)!^{(3)}}\dfrac{3n!}{n!}\dfrac{1}{(n+1)!}$$

y multiplicando muchas veces por 1 ( $2n!/2n!$ , $n!/n!$ ), obtenemos

$$a_{n}=\dfrac{2^{n}n!}{(3n-1)!^{(3)}}\dfrac{3n!}{n!2n!}\dfrac{2n!}{(n+1)!n!}=\dfrac{2^{n}n!}{(3n-1)!^{(3)}}\binom{3n}{n}\dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}=\dfrac{2^{n}n!}{(3n-1)!^{(3)}}\binom{3n}{n}C_{n}$$

donde $C_{n}$ son los números catalanes

Así que ahora la pregunta principal es: ¿cuál es el $p$ -valorización de la adicción (exponente del primo $p$ en la factorización del número) de la expresión de la izquierda?

$$\nu_{p}\left(\dfrac{2^{n}n!}{(3n-1)!^{(3)}}\right)$$

Los primos cuyo $p$ -la valoración de los ácidos es negativa estará en el denominador, y estos deben dividir $\binom{3n}{n}C_{n}$ . Si sabemos esto, en teoría, deberíamos ser capaces de utilizar el teorema de Kummer para resolver la cuestión de la divisibilidad, pero no fui capaz de abordarlo.

Curiosamente, al probar algunos valores de $n$ no todos estos factores primos que están en el denominador dividen $\binom{3n}{n}$ : algunos de ellos se dividen $\binom{3n}{n}$ y algunos de ellos se dividen $C_{n}$ .

Ejemplo con $n=13$ :

$$\dfrac{2^{13}13!}{(3*13-1)!^{(3)}}\binom{3*13}{13}=\dfrac{15412156416}{115}$$

pero $115=5*23|C_{13}$

Answer 1

Primero demostramos que, para cada primo $p\nmid r$ , $$\nu_p((n+1)!)\leq \sum_{i=-1}^{n-1}\nu_p(ri+1),$$ donde $\nu_p$ para los enteros negativos se define exactamente igual que para los enteros positivos. Al escribir $$\nu_p(x)=\sum_{k=0}^\infty [1\text{ if }p^k|x],$$ basta con demostrar que $$\left\lfloor\frac{n+1}{p^k}\right\rfloor$$ es como máximo el número de $-1\leq i<n$ para lo cual $p^k|ri+1$ . Esto equivale al número de $-1\leq i<n$ que se encuentra en una clase de residuo particular modulo $p^k$ . En una secuencia de $p^k$ enteros consecutivos, como $\gcd(p^k,r)=1$ habrá exactamente un número entero $i$ con $p^k|i$ como resultado, hay al menos $\lfloor (n+1)/p^k\rfloor$ enteros $i$ en el rango $[-1,n)$ (de longitud $n+1$ ) que son múltiplos de $p^k$ .

Además, para cada primo $p|r$ , $\nu_p((n+1)!)\leq n\leq \nu_p(r^n)$ La igualdad sólo puede mantenerse cuando $p=2$ y $r\equiv 2\pmod 4$ .

Así que, $$\frac{r^n(1-r)(1)(1+r)(1+2r)\cdots(1+(n-1)r)}{(n+1)!}$$ es un número entero. Su $a_n$ es $-(r-1)^{n-1}$ veces esta cantidad, por lo que también es un número entero.