Cómo encontrar el valor de $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1 }^{n }k^{\frac{1}{k}}$

Question

Cómo encontrar el valor de: $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1 }^{n }k^{\frac{1}{k}}$$

Answer 1

Dejemos que $$a_{n}=1^{\frac{1}{1}}+2^{\frac{1}{2}}+...+n^{\frac{1}{n}}$$ $$b_{n}=n$$ Utilizando el teorema de Stolz-Cesàro $$\lim \left ( n \to \infty \right ) \frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim \left ( n \to \infty \right ) \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=\lim \left ( n \to \infty \right ) \frac{n^{1/n}}{1}=1$$ Gracias por ajotatxe , metamórfico y stochasticboy321 de la ayuda.