:Duplicado: Cómo demostrar que $\cos (\pi * z) = \prod_{n \in \mathbb{Z}_{\text{odd}}} (1-\frac{2 z}{n})e^{2z/n}$

Question

Duplicado

La pregunta también fue respondida aquí: ¿Cómo puedo deducir $\cos\pi z=\prod_{n=0}^{\infty}(1-4z^2/(2n+1)^2)$ ?

Encontré esta fórmula en Wikipedia en Teorema de factorización de Weierstrass ,

$\cos (\pi z) = \underset{n \in \mathbb{Z}_{\text{odd}}}{\prod} (1-\frac{2 z}{n})e^{2z/n}$

Sin embargo, no soy capaz de probarlo desde

$\sin (\pi z) = \pi z \underset{n \neq 0}{\prod} (1-\frac{z}{n})e^{z/n}$

La derivación de $\sin (\pi z)$ en la página 175 de "Funciones de una variable compleja I" de Conway puede ser útil.

¿Podría alguien ayudarme a probarlo? Gracias.

Edición: Me gustaría derivar $\cos (\pi z)$ de $\sin (\pi z)$ . Perdón por la confusión

Answer 1

Utilizando la identidad trigonométrica $\sin (2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ y el producto de Weierstraß del seno, obtenemos

\begin{align} \cos (\pi z) &= \frac{\sin (2\pi z)}{2\sin (\pi z)}\\ &= \frac{2\pi z \prod\limits_{n\neq 0}\bigl(1 - \frac{2z}{n}\bigr)e^{2z/n}}{2\pi z \prod\limits_{k\neq 0} \bigl(1 - \frac{z}{k}\bigr)e^{z/k}}\\ &= \frac{\prod\limits_{n\neq 0}\bigl(1 - \frac{2z}{n}\bigr)e^{2z/n}}{\prod\limits_{k\neq 0} \bigl(1 - \frac{z}{k}\bigr)e^{z/k}}\\ &= \frac{\prod\limits_{n\neq 0}\bigl(1 - \frac{2z}{n}\bigr)e^{2z/n}}{\prod\limits_{k\neq 0} \bigl(1 - \frac{2z}{2k}\bigr)e^{2z/2k}}\\ &= \frac{\prod\limits_{n \neq 0}\bigl(1 - \frac{2z}{n}\bigr)e^{2z/n}}{\prod\limits_{\substack{m\neq 0 \\ m \text{ even}}}\bigl(1 -\frac{2z}{m}\bigr)e^{2z/m}}\\ &= \prod_{n\text{ odd}}\biggl(1 - \frac{2z}{n}\biggr)e^{2z/n}. \end{align}