¿Criba mejorada para números primos y primos gemelos?

Question

Supongamos que queremos estimar el número de números primos entre $x$ y su raíz cuadrada, por ejemplo entre $10$ y $100$ con un tamiz.

Hay $90$ números así que estimamos :

$\pi(10,100) = 90(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7) \\ = 90 * 2 * 4 * 6 / 2 / 3 / 5 / 7 = 90 * 24 / 105 = 20,57\ldots$

Esto es muy bueno. El valor real es $21$.

Sin embargo, sabemos por el teorema de los números primos y el teorema de Mertens que esta es solo una buena estimación hasta una constante multiplicativa.

El problema es fácilmente identificado.

Por un lado, las divisiones tienen restos que conducen a términos de error crecientes.

Por otro lado, tenemos esto:

$(1-1/2)(1-1/3)\cdots(1-1/p_{n-1})(1-1/p_n)$ donde $p_n$ está cerca de la raíz cuadrada de $x$, lo que lleva a cosas (términos) sin sentido como $x/(2*3*p_{n-1}*p_n) << 1$.

Así que la idea es truncar.

Sea $\omega(n)$ el número de factores primos distintos del entero $n \geq 2$. Esta $\omega(n)$ se llama la función omega primo.

Considera la versión truncada de $(1-1/2)(1-1/3)\ldots$ :

$$ \pi(t,t^2 + t) = \sum_{1

Donde $i$ son los enteros libres de cuadrados.

¿Cuánto mejor es esto?

Más precisamente: ¿es $\sum_{1 asintótico a $\frac{t^2}{2 \ln(t)} $ o aún estamos desviados por un factor constante ?

Y si aún estamos desviados por un constante, ¿es el mismo que el de Mertens' o lo mejoramos - más cerca de $1$ - ? ¿Qué tal una forma cerrada entonces?

La pregunta análoga para gemelos primos:

¿es $\sum_{2 donde $j $ son enteros impares libres de cuadrados, asintótico a $\frac{t^2}{2 \ln^2(t)}$ o aún estamos desviados por un factor constante?

Y si aún estamos desviados por un constante, ¿es el mismo que el de Mertens' al cuadrado o lo mejoramos - más cerca de $1$ - ? ¿Qué tal una forma cerrada entonces?

No pude encontrar esto en línea ni en bibliotecas.

Answer 1

Dejemos que $p_1 = 2$ , $p_2 =3$ , $p_3=5$ , $p_n= $ el $n$ El número primo

Define 2 como el número primo más pequeño.

Cualquier número primo mayor que exista en los números naturales no es múltiplo de ningún número primo menor.

Para generar más números primos utiliza un tamiz para eliminar los múltiplos de los números primos más pequeños.

El tamiz 1 elimina los múltiplos de $p_1$

El tamiz 2 elimina los múltiplos de $p_1$ y $p_2$

El tamiz 3 elimina los múltiplos de $p_1$ , $p_2$ y $p_3$

El tamiz n elimina los múltiplos de $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ , .... y $p_n$

Los números no primos $>1$ en la criba actual puede generarse mediante $xy$ donde $x,y$ es un elemento generado en el tamiz anterior. El tamiz n es un conjunto de ecuaciones aritméticas donde la diferencia común es el primordio n y el valor inicial es un coprimo a la diferencia común. Limitar el número de elementos generados por el tamiz n al be $p_{n+1}$ . Todos los posibles coprimas para generar la siguiente criba pueden encontrarse en la criba actual.

El tamiz 1 $$n<p_2 $$ $$n=0,1,2,3,... $$ $$ p_1*n + 1 = 1,3,5$$ El tamiz 2 $$n<p_3 $$ $$n=0,1,2,3,... $$ $$p_1*p_2*n + 1 = 1,7,13,19,25 $$ $$ p_1*p_2*n + 5 = 5,11,17,23,29 $$ El tamiz 3 $$n<p_4$$ $$ n=0,1,2,3,... $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 1 = 1,31,61,91,121,151,181 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 7 = 7,37,67,97,127,157,187 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 11 = 11,41.71,101,131,161,191 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 13 = 13,43,73,103,133,163,193 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 17 = 17,47,77,107,137,167,197 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 19 = 19,49,79,109,139,169,199 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 23 = 23,53,83,113,143,173,203 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 29 = 29,59,89,119,149,179,209 $$

Los primos gemelos son un par de números primos que difieren en 2. Los primeros pares de primos gemelos son $(3,5) ,(5,7), (11,13) , (17,19) , (29,31) , (41,43)$ . ¿Hay infinitos primos gemelos? En la criba 3 hay dos pares de progresiones aritméticas cuya diferencia entre sus valores iniciales difiere en 2. $$p_1*p_2*p_3*n + 11 = 11,41,71,101,131,161,191 $$ $$ p_1*p_2*p_3*n + 13 = 13, 43,73,103,133,163,193$$ y $$p_1*p_2*p_3*n + 17 $$ $$ p_1*p_3*p_3*n + 19 $$

Los números generados por un par de progresiones aritméticas que difieren en 2 en el tamiz 3 se convertirán en más pares de progresiones aritméticas que difieren en 2 en el tamiz 4.

$$ p_1*p_2*p_3*p_4+11 $$ $$ p_1*p_2*p_3*p_4+13 $$

y

$$ p_1*p_2*p_3*p_4+41 $$ $$ p_1*p_2*p_3*p_4+43 $$

y

$$p_1*p_2*p_3*p_4+71 $$ $$ p_1*p_2*p_3*p_4+73 $$

y

....

Sólo un elemento en cada progresión aritmética en el tamiz $n$ generando $p_{n+1}$ tiene el factor de $p_{n+1}$ . Por lo tanto, cada par de progresión aritmética que difiere en $a$ generará $p_{n+1} -2$ progresiones aritméticas que difieren en $a$ en el siguiente tamiz.

Sólo queda demostrar que existe un par de números primos gemelos en cada tamiz cuando cada tamiz genera un número finito de elementos.

Si $f$ es un factor de un número en una progresión aritmética generada por un tamiz. Entonces, para todas las secuencias $f$ elementos generados por la progresión aritmética sólo existe un elemento con el factor $f$ .

Por ejemplo $$p_1*p_2*n+1 = 1,7,13,19,25,31,37,43,49,55,... $$ $5$ es un factor de números $25, 55, 85, 115,...$ y cada uno de estos números es exactamente $5$ elementos secuenciales aparte. $7$ es un factor de números $7, 49, 91, ...$ y cada uno de estos números es exactamente $7$ elementos secuenciales aparte. En $5*7$ elementos secuenciales hay exactamente $7$ elementos con factores de $5$ y $5$ elementos con factores de $7$ .

En el tamiz m dejemos que la entrada n $$ n < p_1 * p_2 * p_3 * ... *p_m $$ Generando $p_1*p_2*p_3*...*p_m$ elementos por progresión aritmética. El mayor número generado en la criba es
$$ (p_1*p_2*p_3*...*p_m +1)(p_1*p_2*p_3*...*p_m -1)$$ Por lo tanto, todos los números no primos generados por la progresión aritmética deben tener un factor $f$ tal que $f>=3$ y $f<=p_1*p_2*p_3*...p_m -1$ . Tomemos el factor más pequeño posible $3$ en $$p_1*n+1 =1,3,5,7,9,... $$

sólo hay que contar el número de números Impares $>=3$ y $<=p_1*p_2*p_3*...*p_m$ en números naturales para contar los números no primos en progresión aritmética generados en el tamiz m cuando la entrada n $$ n < p_1*p_2*p_3*...*p_m $$ por

El primer número no primo con el factor de $3$ será $3*q$ donde $q>=3$

El siguiente número no primo con el factor de $3$ será $3*(q+2)$

El siguiente número no primo con el factor de $3$ será $3*(q+2+2)$

El primer número no primo con el factor de $3+2$ sin el factor de $3$ será $(3+2)*q$ donde $q>=3+2$

El primer número no primo con el factor de $3+2$ sin el factor de $3$ será $(3+2)*(q+2)$

Por lo tanto en dos progresiones aritméticas en el mismo tamiz existen $3$ elementos generados por cada progresión aritmética que comparten la misma entrada $n$ donde como máximo $2$ elementos en compartir diferentes n podrían ser no primos y el último posible $n$ entrada debe tener números primos en ambas progresiones aritméticas en el mismo tamiz.