Solución analítica de una EDP lineal de advección-reacción

Question

Estoy buscando una solución analítica para la EDP lineal

$(1)\qquad\qquad \qquad f_t+ A f_x + B f = 0, $

Dónde $A$ y $B$ son matrices constantes y $f=f(x,t)$ es un vector.

Es evidente que cada uno de $f_t + A f_x = 0,$ y $f_t+ B f = 0,$ tiene una solución analítica que implica vectores propios y valores propios de $A$ y $B$ por separado, pero no estoy seguro de la ecuación (1).

Mi pregunta es:

¿Cuáles son las condiciones mínimas en $A$ y $B$ tal que exista una solución analítica al problema en (1), (claramente si comparten eigenvectores, puedo escribir una solución...) y ¿cuál es la solución en ese caso?

Answer 1

Por analítica Supongo que se refiere a explícito o en forma cerrada . El caso conocido hasta ahora es cuando $A$ y $B$ puede ser diagonalizado en la misma base. Obsérvese que el caso en el que algunos valores propios vienen como pares conjugados complejos es sutil.

Para ver la importancia de la condición $[A,B]=0_n$ , hagamos la transformada de Fourier de su ecuación: $$\partial_t\hat f=(B-i\xi A)\hat f(t,\xi).$$ Aunque se pueda calcular el exponencial de $t(B-i\xi A)$ (poco probable), será una función complicada de $\xi$ cuya transformada de Fourier hacia atrás no es explícita en absoluto. Cuando $A$ y $B$ commutte, tenemos $$\exp t(B-i\xi A)=e^{tB}e^{it\xi A},$$ y esto explica que todo funcione bien en este caso. Una situación buena menos obvia es cuando el conmutador $[A,B]$ es una combinación lineal de $A$ y $B$ . Este argumento se utilizó (en un entorno de dimensión infinita) para calcular explícitamente la solución del problema de Cauchy para el oscilador armónico: $$\partial_tu-\Delta u+|x|^2u=0.$$

Si se acepta una fórmula menos explícita, y si se asume que $A$ es diagonalizable con real valores propios (decimos que el operador $\partial_t+A\partial_x$ es hiperbólica ), entonces el problema de Cauchy está bien planteado. Se puede construir la solución utilizando la transorma de Laplace en el tiempo y la transformada de Fourier en el espacio. Se obtiene una fórmula integral que involucra a las inversas $(B-i\xi A)^{-1}$ .

Answer 2

Utilice el ansatz $f(x,t) = exp(a x) exp(c t) v$ donde v es un vector constante. Se tiene una solución siempre que $(c + a A + B) v = 0$ es decir, una solución no trivial si v es un vector propio de $ a A + B $ para el valor propio -c.

Answer 3

Recientemente hemos trabajado en un caso especial de su sistema (1) en un problema económico. Caso especial significa que tenemos un sistema bidimensional y que A tiene una estructura especial. Obtenemos ejemplos de soluciones de forma cerrada cuya estructura se asemeja a las distribuciones gamma, es decir, la estructura es $f(x,t) = (c_0 + c_1x+c_2t)exp(c_3x+c_4t)$ . Para más detalles, consulte nuestro archivo pdf , también disponible en www.waelde.com/pub.

Esperamos que haya muchas generalizaciones de esta solución. También creemos que funcionaría para estructuras de A más generales que las que hemos utilizado hasta ahora. (De hecho, cualquier pista en la literatura matemática sobre generalizaciones de esta solución sería muy bienvenida).