Dejemos que $O$ sea el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo con lados $a, b, c$ . ¿Es cierto que $$aOA^2+bOB^2+cOC^2 \ge aHA^2 + bHB^2 + cHC^2$$ o de forma equivalente $$(a+b+c)R^2 \ge aHA^2 + bHB^2 + cHC^2$$ donde $R$ ¿es el circunradio?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto no es cierto.
un ejemplo contrario es $ a=5,b=6,c=8$ pero para algunos $a,b,c$ satisfacerlo.
Editar: Este es el caso que $H$ está dentro del círculo.
es trivial que $AH$ // $EC$ , $\angle EAC=\angle EBC= \dfrac{\pi}{2}-\angle BEC =\dfrac{\pi}{2}-\angle BAC =\angle ACF \implies AE$ // $HC \implies AH=EC$
es trivial que $EC^2=BE^2-BC^2=4R^2-a^2=AH^2$
