Transporte paralelo no lineal: preservación de los conjuntos de niveles de una función arbitraria

Question

Motivación: Consideremos un haz vectorial liso $\pi:E\to M$ una métrica de fibra $g$ y una conexión afín $\nabla$ compatible con $g$ . Entonces el transporte paralelo $\Pi_{\gamma,t_0,t}$ determinado por $\nabla$ es una isometría de las fibras de $E$ .

Consideremos la función suave $f:E\to \mathbb{R}$ en un haz vectorial definido por $f(v):= g(v,v)$ . En particular, el transporte paralelo da lugar a una familia de mapas suaves $\Pi_{\gamma,t_0,t}:E_{\gamma(t_0)}\to E_{\gamma(t)}$ Satisfaciendo a $$f \circ \Pi_{\gamma,t_0,t} = f,$$ para cualquier camino $\gamma:[t_0,t]\to M$ .

Pregunta: Supongamos que $\pi:E\to M$ es un suave fibra paquete y $f:E\to \mathbb{R}$ es un arbitrario función suave. ¿Cuándo es posible encontrar, para cualquier camino $\gamma:[t_0,t]\to M$ una familia de mapas suaves $\Pi_{\gamma,t_0,t}:E_{\gamma(t_0)}\to E_{\gamma(t)}$ Satisfaciendo a $$f \circ \Pi_{\gamma,t_0,t} = f?$$

Es decir, ¿existen condiciones naturales que puedan imponerse a $f$ para garantizar que esto sea posible?

Idea: Si los conjuntos de niveles de $f$ son todas variedades y existe una conexión suave de Ehresmann en $E$ tal que el haz horizontal correspondiente $\mathcal{H}$ está contenida en la distribución $\ker df$ Entonces creo que el transporte paralelo determinado por esta conexión resolvería el problema. Pero no me queda claro cuando existe tal conexión de Ehresmann.

Evidentemente dicha conexión (lineal) de Ehresmann existe para el caso de $E$ un haz de vectores y $f(v) = g(v,v)$ descrito anteriormente.

Answer 1

Hay muchos ejemplos en los que ese transporte paralelo no existe (por ejemplo, tomar una función no constante en la base $M$ y lo devuelve a $E$ ). Sin embargo, existe en casos muy concretos, como tu ejemplo de un haz vectorial con métrica de fibra. Intentemos generalizar tu ejemplo.

Dejemos que $E\to M$ sea un haz de fibras con la fibra $F$ . Así que $E$ puede representarse mediante una colección de trivializaciones y mapas de transición. Los mapas de transición son todos de la forma $$\varphi_{\alpha,\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\to \mathrm{diff}(F).$$ Dejemos que $G$ sea un subgrupo de Lie de $\mathrm{diff}(F)$ . A $G$ -en nuestro haz de fibras es una representación en la que todos los mapas de transición admiten valores en $G$ .

Ejemplo: Un haz vectorial no es más que un haz de fibras con fibra $\mathbb{R}^k$ , equipado con un $GL_k(\mathbb{R})$ -estructura. Una vez que se le da a este haz vectorial una métrica de fibra, en realidad se reduce el grupo de la estructura a $O_k(\mathbb{R})$ .

Seguimos con un haz de fibras $E\to M$ . Para empezar, cada fibra $E_p$ puede identificarse con el modelo de fibra $F$ de muchas maneras diferentes. De hecho, el conjunto de difeomorfismos $E_p\to F$ es difeomorfo a $\mathrm{diff}(F)$ . Una vez que se equipa $E$ con un $G$ -estructura, se distingue un conjunto de identificaciones "especiales", las que respetan la $G$ -estructura. El conjunto de tales identificaciones es difeomorfo a $G$ . (Por ejemplo, si $E$ es un haz vectorial, entonces las identificaciones especiales son los isomorfismos lineales $E_p\to\mathbb{R}^k$ . Si se tiene una métrica, las identificaciones especiales son los isomorfismos lineales isométricos).

Supongamos ahora que $E\to M$ tiene un $G$ -estructura y una conexión compatible $\nabla$ . Es decir, todos los mapas de transporte paralelo de $\nabla$ respetar la $G$ -Estructura. Sea $h:F\to\mathbb{R}$ sea una función que respete la $G$ -acción sobre $F$ . En otras palabras, $h$ es constante en cada $G$ -órbita en $F$ . Obsérvese que en este caso existe una función bien definida $\tilde{h}:E\to\mathbb{R}$ que es inducido por $h$ . En concreto, para $q\in E_p\subset E$ tenemos $$\tilde{h}(q)=h\circ\psi_p(q),$$ donde $\psi_p:E_p\to F$ es una identificación que respeta el $G$ -estructura. (Nuestras suposiciones garantizan que está bien definida). La conexión $\nabla$ satisfará entonces lo que usted desea para la función $\tilde{h}$ .

Te dejo que te convenzas de que tu ejemplo es un caso particular de la situación descrita anteriormente.

Editar: Bajo otras suposiciones leves, la historia anterior es, de hecho, el único contexto en el que se produce este fenómeno. En concreto, dejemos que $E\to M$ sea un haz de fibras dotado de una conexión $\nabla$ y que $h:E\to\mathbb{R}$ sea una función que se conserva mediante el transporte paralelo de $\nabla$ . Sólo añadimos la suposición de que el transporte paralelo existe para cada trayectoria (no siempre es así en los haces de fibras generales).

Elija un punto $p\in M$ y que $G$ sea el grupo de todos los difeomorfismos $E_p\to E_p$ que respeta $h|_{E_p}$ . Entonces, construye una colección de trivializaciones de $E\to M$ utilizando $E_p$ como la fibra modelo, donde todas las identificaciones $E_{p'}\to E_p$ se obtienen del transporte paralelo a lo largo de algún camino. Hay muchas formas diferentes de hacerlo, pero todos los mapas de transición tendrán valores en $G$ . Esto significa que la función $h$ es del tipo descrito anteriormente.

Observación: El comentario de Willie Wong es correcto y ofrece una condición necesaria y suficiente muy sencilla. Dicho esto, todos los ejemplos que he encontrado de tal comportamiento de una función y una conexión se originan naturalmente de una función en la fibra del modelo, como se describe en esta respuesta (este es definitivamente el caso en su ejemplo). En otras palabras, normalmente hay una imagen más grande detrás de dicha función.

Answer 2

Intentaré hacer una declaración/prueba detallada basada en los comentarios de Willie Wong.

Teorema: Existe un transporte paralelo $\Pi$ como en mi pregunta si $\ker df$ es transversal a los espacios tangentes de las fibras.

Prueba: $(\implies)$ Supongamos que existe $e \in E$ con $\ker df_e$ sin intersección $T_e E_{\pi(e)}$ transversalmente. Entonces existe $v \in T_{\pi(e)}M$ con $v \not \in d\pi_e(\ker df_e)$ . Pero entonces cualquier curva $\gamma$ en $M$ con $\gamma'(0) = v$ no puede elevarse a una curva contenida en un conjunto de niveles de $f$ para dicho ascensor $\tilde{\gamma}$ satisfaría $d\pi_e \tilde\gamma'(0) = v$ y también $\tilde{\gamma}'(0)\in \ker df_e$ .

$(\impliedby)$ Supongamos ahora que $\ker df$ es transversal a los espacios tangentes de las fibras. Supongamos que podemos encontrar una cubierta abierta $(U_a)_{a\in A}$ de $E$ y para cada $a \in A$ un mapa de haces vectoriales $P_a:TU_a\to T U_a$ cubriendo la identidad tal que $P_a$ es una proyección lineal sobre cada $T_e U_a \subset T_e E$ con $\ker P_a \subset \ker d f$ y $\text{im }P_a =T_e E_{\pi(e)}$ . Tomando una partición de la unidad $\psi_a$ subordinado a $(U_a)_{a\in A}$ , $$P:= \sum_{a\in A}\psi_a P_a$$ está bien definida. $P:T E\to TE$ es un mapa de haz vectorial que cubre la identidad, y en cada espacio tangente es una proyección lineal de valor vertical ya que las proyecciones lineales con imagen común son cerradas bajo combinaciones convexas . También tenemos $\ker P \subset \ker df$ porque el núcleo de una combinación convexa de proyecciones lineales está contenido en el casco convexo de sus núcleos $^\mathbf{1}$ y $\ker df$ es convexo, siendo un espacio vectorial. Definición de un haz horizontal $\mathcal{H}:= \ker P$ produce una suavidad (porque $P$ es un mapa de haz vectorial suave y de rango constante) conexión de Ehresmann contenida en $\ker df$ . El transporte paralelo con respecto a esta conexión hace el truco, basado en mi Idea en el puesto original.

Por lo tanto, basta con producir $(U_a)_{a\in A}$ y $(P_a)_{a\in A}$ . Sea $e \in E$ . Siendo un haz de fibras lisas, $e\in E$ es en particular una foliación suave y por lo tanto $e$ tiene un barrio $U$ difeomorfo a $\mathbb{R}^{n_1}\times \mathbb{R}^{n_2}$ con $n_1 = \dim{M}$ y $n_2$ la dimensión de las fibras. Denotemos un elemento típico de $\mathbb{R}^{n_1}$ por $x$ y un elemento típico de $\mathbb{R}^{n_2}$ por $(y,z)$ con $z \in \mathbb{R}$ . Como estamos asumiendo $\ker df$ es transversal a los espacios tangentes de las fibras, por el teorema de la función implícita (reordenando las coordenadas estándar en $\mathbb{R}^{n_2}$ y la contracción $U$ si es necesario) obtenemos una parametrización suave

$$(x,y,c)\mapsto (x,y, f^c(x,y))$$

de $U$ con cada uno de los conjuntos de niveles $f^{-1}(c)$ obtenido mediante la fijación de $c \in \mathbb{R}$ . Definir el mapa del haz vectorial liso $Q:TU\to \ker df \subset TU$ al establecer $$Q\left(\sum_i a^i \frac{\partial}{\partial x^i} + \sum_j b^j \frac{\partial}{\partial y^j} + d \frac{\partial}{\partial z}\right):= \sum_i a^i \left(\frac{\partial}{\partial x^i}+ \frac{\partial f^c}{\partial x^i}\right) + \sum_j b^j \left(\frac{\partial}{\partial y^j} + \frac{\partial f^c}{\partial y^j}\right).$$ Entonces $P:TU \to TU$ definido por $P:= I-Q$ es una proyección de valor vertical con $\ker dP \subset \ker df$ . $\square$

Nota a pie de página $^{\mathbf{1}}:$ Dado $L = c_1L_1 + c_2 L_2$ , tenga en cuenta que $\ker L_i = \text{im}(I-L_i)$ y de forma similar para $L$ y $(I-L) = I-c_1L_1 - c_2L_2 = c_1(I-L_1)+c_2(I-L_2)$ desde $c_1 + c_2 = 1$ . Ahora usa la inducción.