¿En qué sentido es un campo cuántico de un conjunto infinito de osciladores armónicos?

Question

¿En qué sentido es un campo cuántico de un conjunto infinito de osciladores armónicos, uno en cada espacio-tiempo?
Cuándo es útil pensar en un campo cuántico de esta manera?

El libro que me estoy leyendo ahora, QFT por Klauber, reclamaciones no es cierto, que es eso?

Me gustaría entender esta analogía un poco mejor.

Answer 1

Por simplicidad, vamos a hablar de un campo escalar $\phi : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}$.

La acción para un libre escalares del campo

$$S[\phi] = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^4} \partial_\mu\phi\partial^\mu\phi - m^2\phi^2$$

y sus ecuaciones clásicas de movimiento es el de Klein-Gordon ecuación

$$ (\partial_\mu\partial^\mu + m^2) \phi = 0 $$

Ahora que se parece sospechosamente como un oscilador o ecuación de onda, ¿no? Esto nos inspira a hacer una transformada de Fourier para obtener las funciones propias $\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}$ solución de esta ecuación. La solución general $\phi(x)$ puede ampliarse como

$$\phi(x) = \int \frac{\mathrm{d}^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a(\vec p)\mathrm{e}^{\mathrm{i}px} + a^\dagger(\vec p)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}px}) $$

que es, precisamente, la expansión se podría hacer para cualquier otro oscilador. Ahora, usted puede hablar acerca de los modos de $a(\vec p)$ $a^\dagger(\vec p)$ del campo que se está emocionado, y usted puede imaginarse $\mathrm{e}^{\mathrm{i}px}$ describiendo un (básico) de oscilación en cualquier punto de $x$, y hablar de la integral que representa el campo, sobre la base de tales osciladores.

Todo esto es una tontería.

Esto puede sonar fuerte, pero ha sido la fuente de muchos molestos malentendidos en la divulgación de las teorías cuánticas para los laicos.

Sólo porque algo ($\phi$) cumple una ola/oscilador ecuación y tiene un modo de expansión (como el de arriba se llama), no significa que cualquier cosa que oscila. Es sólo el mismo tipo de ecuación que se puede encontrar en el oscilador, no es la misma situación física. Es una bonita imagen para decirnos a nosotros mismos que entendemos que el campo cuántico, pero en última instancia, no hay nada que justifique el oscilador de interpretación. Nada físico está vibrando u oscilando aquí.

Además, lo anterior sólo es válida para un libre, que no interactúan campo. Cuando un campo arbitrario interacciones, sus ecuaciones de movimiento no se parecía a la de la onda/oscilador ecuación, y no tiene ningún modos, por lo que la imagen se cae a pedazos no completamente.

Ya que las observaciones muestran que esto es más controvertido de lo que pensaba, voy a elaborar un poco:

Las ondas electromagnéticas también mira como si no hubiese un oscilador armónico en cada punto en el espacio, por la misma lógica de expansión de modo. Las descripciones son formalmente equivalentes. Esto llevó a la gente a creer que no es el luminiferous aether, porque, ¿cómo podía espacio vacío llevar a la onda? Pero esto resultó no ser cierto, no es ninguna aether, y no hay nada que llevar a la ola. La equivalencia formal es engañosa, no hay un objeto físico oscilante cuando la onda viaja a través del vacío.

No estoy diciendo que nada sobre el tratamiento formal es falso, yo estoy tratando de explicar por qué no es una buena idea para creer que el oscilador descripción es una buena interpretación física de la situación, que es lo que yo creo que el OP se refiere cuando menciona un libro diciendo: "Esto no es verdad" acerca de la "osciladores en cada punto en el espacio" de la idea.

Answer 2

Gratis en teoría, dicen que por un escalar campo de la simplicidad, lo que da una una ecuación diferencial lineal para el campo $\phi$, uno puede lanzar el hamiltoniano $$ H=\frac{1}{2}\int d^3x \dot\phi^2+(\partial_i \phi)^2+ m^2\phi^2 $$ en este formulario (básicamente por la toma de una transformada de Fourier) $$ H=\mathrm{const}+\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \omega(k)^\daga(k) (k)\,,\qquad \omega(k)^2=k^2+m^2 $$ donde$[a(k),a^\dagger(p)]=(2\pi)^3\delta^3(p-k)$$[a(k),a(p)]=0$. Usted ve que este es el Hamiltoniano para una infinidad de osciladores armónicos, uno en cada punto de impulso espacio. Dado que los niveles de energía de un oscilador armónico están separados uniformemente para cada $k$, se obtiene la partícula interpretación de los libres, la teoría de campo dado que el estado del sistema es identificado por la ocupación de los números de cualquier oscilador armónico.

Si la teoría es débilmente acoplado, que es una pequeña perturbación en el sistema anterior, usted puede mantener el pensamiento de que el sistema como un conjunto de osciladores armónicos, aunque ahora junto, con nuevos fenómenos como el de la no-trivial de dispersión (elástica o elástica con la producción de partículas...) porque el tiempo de evolución es deformado por el de libre osciladores/partículas que hemos preparado en el infinito donde la interacción puede ser descuidado.

Viceversa, varias QFTs, especialmente la fuertemente acoplados, no admitir una partícula/osciladores interpretación y usted no debe pensar en ellos como un conjunto de osciladores armónicos.

Answer 3

Imaginar una clásica relativista bosonic escalar campo $\Phi(\vec x,t)$, su ecuación es la de Klein-Gordon ecuación :

$$\partial_0^2 \Phi(\vec x,t) - \sum\limits_i \partial_i^2 \Phi(\vec x,t) = 0 \tag{1}$$

Ahora, toma la espacial de la transformada de Fourier de esta ecuación, se obtiene una ecuación para $\Phi(\vec k, t)$ :

$$ \partial_0^2 \Phi(\vec k,t) + \vec k^2 \Phi(\vec k,t)=0\tag{2}$$

Usando la notación $\Phi_{\vec k}(t) = \Phi(\vec k,t)$, se puede escribir :

$$\partial_0^2 \Phi_{\vec k}(t) + \vec k^2 \Phi_{\vec k}(t)=0\tag{3}$$

Uno ve que el $\Phi_{\vec k}(t)$ representan una colección de independiente osciladores armónicos, cada uno con una frecuencia $\omega_{{\vec k}} = |\vec k|$

Ahora, supongamos que desea cuantizar el campo, para obtener un cuantificada relativista bosonic campo. Esto es fácil, porque usted sabe cómo cuantizar un oscilador armónico. Usted acaba de promover la clásica de campos de $\Phi_{\vec k}(t)$ a los operadores. Por ejemplo, usted tendrá :

$$[\Phi_{\vec k}(t), \partial_0 \Phi_{\vec k'}(t')]_{t=t'} = i \delta^3 (\vec k - \vec k') \tag{4}$$