¿Hay una interpretación para esta identidad trigonométrica?

Question

Hace un tiempo me encontré con la siguiente identidad en línea de matemáticas foro (del cual no recuerdo el nombre): $$\tan\left(\frac{\pi}{11}\right)+4\sin\left(\frac{3\pi}{11}\right)=\sqrt{11}.$$

No es difícil dar una prueba por volver a escribir todo en términos de $\exp(i\pi/11)$ y la aplicación de una secuencia de manipulaciones. Me pregunto donde esta identidad viene. Puede alguien pensar en una interpretación geométrica? De una expresión algebraica?

Edit: he Aquí un ejemplo de lo que quiero decir por algebraica de interpretación: La identidad $$\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{7}}{8}$$ expresa el hecho de que para el polinomio de Chebyshev $$T_7(x)=x(64x^6-112x^4+56 x^2-7)$$ el producto de las raíces $\displaystyle \sin\left(\frac{k\pi}{7}\right)$, $1\leq k<7$, el segundo factor es igual a la normalizado término constante $\displaystyle \frac{7}{64}$.

Answer 1

Yo sólo podía pensar de una manera directa trigonométricas interpretación de la identidad.

El radio del sector circular es de 1. Las medidas de la central de los ángulos y las longitudes de los segmentos de línea son:

1. El ángulo menor: $\pi/11$ rad.
2. El ángulo más grande: $3\pi/11$ rad.
3. La línea roja del segmento: $\sqrt{11}$.
4. La línea vertical negra segmento: $4\sin(3\pi/11)$.
5. La vertical de la luz roja segmento: $\tan(3\pi/11)$.

La línea roja del segmento es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catheti son el segmento de la línea con una longitud $\sqrt{10}$ y el ortogonal de la unidad de segmento. El $\sqrt{10}$ segmento de línea es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catheti son la línea horizontal del segmento con longitud de 3 y la línea vertical del segmento con longitud 1.

Editado: El ángulo $\pi/11=2\pi/22$ no es construible con regla y compás (Wikipedia, Edificable polígono ). Por lo tanto, la figura es un imposible la construcción con regla y compás solamente.

Answer 2

Recuerde que la forma de álgebra es $a + $bi. Se debe calcular el primero: $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ y luego considerar el ángulo "$\Phi$" (hay cerca de 4 casos)... Te doy un Consejo: recordar números complejos, y el final es $z = |z| (\cos{\Phi}+i \sin{\Phi})$.