Extensión de haces vectoriales en la línea proyectiva: $Ext^1({\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(n),{\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(m))=$ ??

Question

Quiero saber el valor $Ext^1({\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(n),{\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(m))$ para números enteros m, n.

Answer 1

$\mathrm{Ext}^1(O(n),O(m)) = \mathrm{Ext}^1(O,O(m-n)) = H^1(O(m-n))$ y los grupos de cohomología son bien conocidos.

Answer 2

A) La gavilla ext, $\mathcal {Ext}^1({\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(n),{\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(m))=0 $ es la gavilla cero para todo $n,m\in \mathbb Z$ .
[En general, si $\mathcal F$ es localmente libre, la gavilla ext $\mathcal {Ext}^i(\mathcal F,\mathcal G)$ es cero para $i\gt0$ y para todos los coherentes $\mathcal G$ porque el functor $\mathcal {Hom}(\mathcal F,\bullet ) $ es exacta].

b) Lo que probablemente quiere es el $k$ -espacio vectorial ext, ${Ext}^1({\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(n),{\mathcal O_{\mathbb{P}^1}}(m))$ .
Es isomorfo a $$H^1(\mathbb P^1_k,\mathcal {Hom}(\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(n) ,\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(m))=H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(m-n)) \quad (*)$$
El cálculo explícito de su espacio vectorial ext resulta entonces de la dualidad de Serre $dim_k H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(m-n))= dim_k H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(n-m-2))$ y el conocido resultado $dim_k H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal O_{\mathbb{P}^1}(r))=r+1$ para $r\geq 0$ y $=0$ Si no.

El isomorfismo mostrado $(*)$ se deduce de la secuencia espectral general $$E_2^{i,j} = H^i(X,\mathcal {Ext}^j(\mathcal E,\mathcal F)) \implies Ext^{i+j}(\mathcal E,\mathcal F),$$ del que se toma la secuencia exacta de bajo grado que sigue .