reflejar una función en torno a una línea

Question

Digamos que tienes una función $f(x)$ y una línea $g(x)=ax+b$ . ¿Cómo se refleja $f$ sobre $g$ ?

Aparentemente se supone que debo escribir más texto, pero la línea anterior es todo lo que busco, de ahí que haya escrito también esta frase.

Answer 1

Podemos implementar esto como una traslación de la línea al origen, una reflexión sobre la línea a través del origen, y luego una traslación de vuelta en la misma dirección.

En concreto: supongamos que queremos reflejar un punto $(x_0,y_0)$ a través de esta línea.

• En primer lugar, tradúzcalo al punto $(x_1,y_1) = (x_0,y_0 - b)$ .

• Entonces, reflexiona $(x_1,y_1)$ al otro lado de la línea $y = ax$ para conseguir $$(x_2,y_2) = \frac1{a^2 + 1} ([1 - a^2]x_1 + 2a\,y_1,2a\,x_1 + [a^2 - 1]y_1)$$

• Finalmente, traduce hacia atrás para obtener $(x_3,y_3) = (x_2,y_3 + b)$

Así, la curva parametrizada por $$x = t\\ y = f(t)$$ Se convierte en la curva parametrizada por $$x = \frac{1 - a^2}{a^2 + 1}\,t + \frac{2a}{a^2 + 1}(f(t) - b) \\ y = \frac{2a}{a^2 + 1}\,t + \frac{a^2 - 1}{a^2 + 1}(f(t) - b)+b$$ Nota: no hay garantía de que podamos escribir $y$ en función de $x$ .

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Casos interesantes: si tomamos $g(x) = 0x + b$ , entonces obtenemos $$y = - (f(t) - b) + b = 2b - f(t)\\ x = t$$ que es simplemente la curva $y = 2b - f(x)$ .

Si tomamos $g(x) = x$ , entonces obtenemos $$y = t\\ x = f(t)$$ Esta es la curva $x = f(y)$ . Cuando $f$ es invertible, podemos reescribirlo como $y = f^{-1}(x)$ .

Answer 2

Representar la gráfica de f paramétricamente por $x=t, y=f(t)$ .

Si reflejamos el punto $(t, f(t))$ en la línea $y=ax+b$ para entender el punto $(x,y)$ entonces $\color{red}{y-f(t)=-\frac{1}{a}(x-t)}$

ya que la línea y el segmento de línea entre $(t, f(t))$ y $(x,y)$ son perpendiculares entre sí.

También tenemos que $\frac{y+f(t)}{2}=a\left(\frac{x+t}{2}\right)+b$ y por lo tanto $\color{red}{y+f(t)=a(x+t)+2b}$

ya que el punto medio del segmento de línea se encuentra en la línea.

Restando estas ecuaciones se obtiene $2f(t)=ax+at+\frac{1}{a}x-\frac{1}{a}t+2b=\left(\frac{a^2+1}{a}\right)x+\left(\frac{a^2-1}{a}\right)t+2b$ ,

y resolviendo para x se obtiene $\displaystyle \color{blue}{x=\frac{1-a^2}{1+a^2}t+\frac{2a}{a^2+1}\left(f(t)-b\right)}$ .

Resolviendo para x en la primera ecuación se obtiene $-ay+af(t)=x-t$ y así $\color{red}{x=-ay+af(t)+t}$ .

Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene

$y+f(t)=a\big(-ay+af(t)+2t\big)+2b=-a^2y+a^2f(t)+2at+2b,$ y resolviendo para y se obtiene

$(a^2+1)y=(a^2-1)f(t)+2(at+b)$ así que $\displaystyle\color{blue}{y=\frac{a^2-1}{a^2+1}f(t)+\frac{2}{a^2+1}(at+b)}$ .