Tengo un problema relacionado con la salida de (y la intuición detrás de) el Suslin $\mathcal{A}$ -Operación .
Más concretamente, no veo exactamente cuál es su resultado (aunque pueda utilizarlo para demostrar algunas cosas muy básicas), y creo que esto dificulta mi comprensión general.
Para intuir un poco, decidí traducir todo en términos de conjuntos finitos (éste debe ser una instanciación de la Operación Alexandroff). Al hacer esto, también añadí algunas preguntas numeradas para enfatizar mis problemas.
Esta es la configuración básica:
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$X = \{ a, b \}$
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$A = \{0, 1 \}$
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$A_e = \{ a, b \}$ , $A_0 = \{ a \}$ , $A_1 = \{ b \}$ , $A_{00} = \varnothing = A_{10} = A_{01} = A_{11}$
donde un esquema de Suslin es una función de la forma $A : A^{<\mathbb{N}} \to 2^X$ .
Por lo tanto, tenemos que
$$ \mathcal{A}_2 ( \{ A_s \} ) = \bigcup_{\alpha \in A^{\mathbb{N}}} \bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_{\alpha|n} \hspace{7cm} (\square),$$
donde $\{ A_s \}$ denota la familia de todos los $A$ conjuntos anteriormente considerados (se trata de un esquema de Suslin que también es regular), y $\alpha|n$ denota el segmento inicial $\alpha = ( \alpha_0, \alpha_1 , \dots, \alpha_{n-1})$ de longitud $n$ de un $\alpha \in A^{\mathbb{N}}$ . Por lo tanto, tenemos que
$$x \in \mathcal{A}_2 ( \{ A_s \} ) \Longleftrightarrow \exists \alpha \in A^{\mathbb{N}} : \forall n \in \mathbb{N} \ ( x \in A_{\alpha|n}) \hspace{3cm}(*).$$
Ahora, mis problemas comienzan aquí.
1. ¿Significa esto realmente que en este caso, con un $X$ El $\mathcal{A}$ -¿La operación da un resultado vacío?
Esta es mi hipótesis porque mi intuición es la siguiente. Estamos en un contexto finito, y no importa lo que $n \in \mathbb{N}$ que elijamos, todavía el proceso termina básicamente en el segundo dígito (es decir $A_{**}$ ) que se asocia con el conjunto vacío, y por lo tanto no hay ningún elemento que pueda encajar en el RHS de $(*)$ .
2. ¿Es correcto este razonamiento?
Si este es el caso, entonces una consideración natural es que el poder del Suslin $\mathcal{A}$ -La operación proviene realmente de los espacios infinitos, donde este proceso puede continuar indefinidamente.
3. De nuevo, ¿es esto correcto?
Estoy deseando recibir cualquier comentario.
Gracias de antemano por su tiempo.
PD: La notación que he utilizado debe ser bastante estándar en la teoría de conjuntos, pero lo aclararé si es necesario.
