Grado de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt{2})$ en $\mathbb{Q}$

Question

¿Cuál es el grado de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt{2})$ en $\mathbb{Q}$

Corregido:

La base que propongo es { $1,\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, 2^{\frac{2}{3}}, 2^{\frac{5}{6}}, 2^{\frac{1}{6}}$ }

Por lo tanto, mi afirmación es que el grado es $6$ .

¿Es correcta la base que propongo? Si no es así, señale mi(s) error(es) (con una explicación si es posible).

Si la base propuesta es correcta, ¿cómo puedo demostrar la in-dependencia lineal? (He intentado el argumento del álgebra lineal pero me he quedado atascado).

Cualquier ayuda o idea es muy apreciada

Answer 1

Se puede utilizar el grado de torre de las extensiones y que $gcd(2,3)=1$ .

Dejemos que $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ , $L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt{2}),F= \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Demostrar que $x^3-2$ es irreducible y $[K:\mathbb{Q}] = 3$ .

Supongamos que $\sqrt{2} \in K$ para que $K = L$ y $[L:\mathbb{Q}] = 3$ . Pero $L=F(\sqrt[3]{2})$ y $[L:\mathbb{Q}]=[L:F][F:\mathbb{Q}] = 2 [L:F]$ una contradicción.

Por lo tanto, $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ para que $X^2-2$ es irreducible sobre $K$ , $\ \ L =K(\sqrt{2}) \cong K[x]/(x^2-2)$ , $\ \ [L:K] = 2$ y $[L:\mathbb{Q}]=[L:K][K:\mathbb{Q}]=6$