En la serie de artículos de Huang y Lepowsky Una teoría de productos tensoriales para categorías de módulos para un álgebra de operadores de vértice definen para un álgebra racional de vértices $V$ el $P(z)$ producto tensorial de dos módulos $W_1$ y $W_2$ para ser $$ W_1\boxtimes_{P(z)} W_2=\coprod_k{(\mathcal{M}[P(z)]^{M_k}_{W_1~W_2})}^*\otimes M_k $$ donde $\mathcal{M}[P(z)]^{M_k}_{W_1~W_2}$ es el espacio vectorial (de dimensión finita) de los bloques conformes para los módulos $M'_k$ , $W_1$ y $W_2$ en los puntos $\infty$ , $z$ y $0$ en la superficie compacta de Riemann $\mathbb{P}^1$ . Aquí $M'_k$ es el módulo contragediente a $M_k$ . Demostraron que bajo ciertas condiciones este producto tensorial da una categoría tensorial de vértices. Ahora bien, si definimos el producto tensorial utilizando bloques conformes sobre una superficie de Riemann compacta arbitraria, ¿podemos obtener una categoría tensorial de vértices (y, por tanto, una categoría tensorial trenzada) bajo ciertas condiciones razonables? Si esto es cierto, ¿podemos mostrar además la rigidez y la modularidad para esta categoría?
Respuesta
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En general, no se obtendrá una categoría de tensor de vértice, porque no se obtiene un comportamiento unitario bien definido cuando se utilizan bloques conformes en superficies de género superior.
Huang-Lepowsky suponen que el álgebra de operadores de vértice es racional y $C_2$ -cofinito, y esto es conjeturalmente lo suficientemente fuerte como para obtener propiedades de factorización fuertes para bloques conformes en géneros más altos. En particular, esperamos que los bloques conformes de género superior se deriven de los bloques de género cero mediante una descomposición en pantalones. Se puede definir una estructura de producto fijando una superficie de Riemann, y moviendo los puntos marcados en una pequeña vecindad para obtener un trenzado, pero todos los espacios de bloques conformes serán demasiado grandes para describir una categoría tensorial con unidad si la categoría de representación original tiene módulos simples no idénticos.
Por otro lado, si su álgebra de operadores de vértice es holomórfica y $C_2$ -cofinito, entonces la categoría tensorial derivada de los bloques conformes de género cero es equivalente a la categoría de los espacios vectoriales de dimensión finita, y se debería obtener esencialmente la misma categoría tensorial si se consideran bloques de género superior.
