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Encuentre los valores de $\sin 69^{\circ},\sin 18^{\circ} , \tan 23^{\circ}$

Calcular $\sin 69^{\circ},\sin 18^{\circ} , \tan 23^{\circ}$ . con una precisión de hasta dos decimales o en surds .

$\begin{align}\sin 69^{\circ}&=\sin (60+9)^{\circ}\\~\\ &=\sin (60^{\circ})\cos (9^{\circ})+\cos (60^{\circ})\sin (9^{\circ})\\~\\ &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos (9^{\circ})+\dfrac{1}{2}\sin (9^{\circ})\\~\\ &=\dfrac{1.73}{2}\cos (9^{\circ})+\dfrac{1}{2}\sin (9^{\circ})\\~\\ \end{align}$

$\begin{align}\sin 18^{\circ}&=\sin (30-12)^{\circ}\\~\\ &=\sin (30^{\circ})\cos (12^{\circ})-\cos (30^{\circ})\sin (12^{\circ})\\~\\ &=\dfrac{1}{2}\cos (12^{\circ})-\dfrac{\sqrt3}{2}\sin (12^{\circ})\\~\\ &=\dfrac{1}{2}\cos (12^{\circ})-\dfrac{1.73}{2}\sin (12^{\circ})\\~\\ \end{align}$

$\begin{align}\tan 23^{\circ}&=\dfrac{\sin (30-7)^{\circ}}{\cos (30-7)^{\circ}}\\~\\ &=\dfrac{\sin (30)^{\circ}\cos 7^{\circ}-\cos (30)^{\circ}\sin 7^{\circ}}{\cos (30)^{\circ}\cos 7^{\circ}+\sin (30)^{\circ}\sin 7^{\circ}}\\~\\ \end{align}$

¿hay alguna manera sencilla, tengo que memorizar todos los valores de $\sin,\cos $ de $1,2,3\cdots15$

He estudiado matemáticas hasta $12$ de grado.

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John Joy Puntos 3696

Esto puede ser un buen reto para ti. Utiliza un pentágono regular para encontrar el $\sin 18^\circ$ .

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erickson Puntos 166

Consulte : la derivación del pecado 18 en esta página

Una vez que conozcas sen 18, puedes encontrar sen 9, cos 9, etc. utilizando las fórmulas de los medios ángulos.
En resumen:

sen 72° = 2 sen 36° cos 36° por la relación de doble ángulo. sin 72° = 4 sin 18° cos 18° (1 - 2sin^2 18°) por la relación de ángulo doble, de nuevo. cos 18° = 4 sin 18° cos 18° (1 - 2sin^2 18°)
sen 72° = cos 18°. 1 = 4 sin 18° (1 - 2sin^2 18°)

Sea x = sen 18°, esto se conoce como 1 = 4*x(1-2x^2) sustitución 8*x^3-4*x+1 = 0 Un producto es cero sólo cuando uno de sus factores es cero. 8x^3-4x+1 = (2*x-1)(4*x^2+2*x-1)=0 (2*x-1)=0 implica x= ½=sin 30° > sin 18° ; Como sabemos que sin es creciente en [0°,90°]. x = (-2 ± \sqrt {(4 + 4-4-1))/8} Así que debemos resolver el otro factor, = (-2 ± \sqrt {20})/8 utilizando la fórmula cuadrática. = (-2 ± \sqrt {4} \sqrt {5})/8 = (-1 ± \sqrt {5})/4 Pero el seno 18° > 0, por lo que no puede ser negativo. sin 18° = ( \sqrt {5}-1)/4 Por lo tanto, la raíz media es la que queremos.

Aquí, en la parte inferior de la página referida, verás un comentario sobre cómo encontrar también el seno 1. A partir de sen 1 puedes encontrar sen (1/2) y observar que 23 = (22 +(1/2)) + (1/2). Pero 22 + ( 1/2 ) es 1/2 de ( 45 ).

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Emilio Novati Puntos 15832

Pista: en esta tabla tienes los valores de: $$ \sin 18°\qquad \sin 3° $$ De estos puedes encontrar: $$ \sin 21°=\sin(18°+3°) \qquad \sin 69°=\sin(90°-21°) $$ Todo esto es construible números, es decir, números reales que podemos expresar mediante raíces cuadradas (y las demás operaciones aritméticas).

Para $\tan 23°$ se puede observar que $69°=3 \times 23°$ y utilizar la fórmula: $$ \tan 3 \alpha=\dfrac{3\tan \alpha-\tan^3 \alpha}{1-3\tan^2 \alpha} $$ Pero esto da una ecuación cúbica y esto significa que el número $ \tan (23°)$ es un número algebraico pero no es construible. Si sabes cómo resolver un cúbico puedes encontrar una expresión finita para $ \tan (23°)$ pero si no lo sabes, sólo puedes encontrar un valor aproximado como se muestra en otras respuestas.

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Narasimham Puntos 7596

No sé si conoces las fórmulas trigonométricas de los ángulos múltiples.

Dejemos que $ A = 18 ^\circ. $ En un triángulo rectángulo si los ángulos agudos son $ 2A= 36 ^\circ, \,3A= 54^\circ$ ,

$ \sin 2 A = \cos 3A $

$ 2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A -3 \cos A $

simplificando y resolviendo para $ \sin A $ le da

$$ \sin 18^\circ =\dfrac{\sqrt{5}-1} {4}. $$

0voto

Roger Hoover Puntos 56

Puede explotar: $$ \sin(60^\circ)=\frac{1}{2}\sqrt{3},\quad \sin(18^\circ)=\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right),\quad \tan(22^\circ 30')=\sqrt{2}-1$$ Entonces, utilice alguna forma de interpolación. Por ejemplo, en una vecindad de $x=\frac{\pi}{3}$ : $$ \sin(x)=\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^2-\frac{1}{12}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)^3+\ldots $$ por lo que al tomar $x=\frac{\pi}{3}+\frac{9\pi}{180}$ que tenemos: $$ \sin(69^\circ) \approx \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{40}-\frac{\pi^2\sqrt{3}}{1600}=0.933\ldots\tag{1}$$ y en un barrio de $x=\frac{\pi}{8}$ que tenemos: $$ \tan(x)=(\sqrt{2}-1)+(4-2\sqrt{2})\left(x-\frac{\pi}{8}\right)+(6\sqrt{2}-8)\left(x-\frac{\pi}{8}\right)^2+\ldots $$ por lo que al tomar $x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{360}$ que tenemos: $$ \tan(23^\circ) \approx \sqrt{2}-1+(4-2\sqrt{2})\frac{\pi}{360}=0.424\ldots \tag{2}$$ Por fin, lo tenemos: $$ \sin(18^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\approx 0.309\ldots\tag{3}$$

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