Funciones generadoras de $a_n:n=i_1+i_2+i_3+i_4$

Question

Estoy teniendo una clase de introducción a la combinatoria y entiendo los teoremas pero no sé realmente cómo aplicarlos. Es bastante fácil resolver las preguntas directas, pero no entiendo cómo resolver las preguntas más difíciles, ¿puede alguien explicarme esta cuestión? Lo que tengo es completamente diferente de la parte posterior del libro ... ¿debería dejar esta clase?

Dejemos que $a_n$ sea el número de formas de escribir el número $n$ como $i_1+i_2+i_3+i_4$ , donde $i_1,i_2,i_3,i_4$ son números enteros tales que

$$0<i_1<3\\i_2>0\\i_3=2 \text{ or } 4\\i_4>1$$

¿Cómo escribo la función generadora de esta secuencia, representándola como una función racional?

Lo único que sé para resolver primero esta cuestión es que lo haga mediante la regla de multiplicación de series de potencias (¿tal vez?). Sé que la función generadora es un producto de $4$ serie de potencias, correspondiente a $i_1,i_2,i_3,i_4$ .

Se agradece la ayuda. Realmente estoy luchando.

Answer 1

Sabes que la función generadora que quieres es un producto de las cuatro funciones generadoras de $i_1,i_2,i_3$ y $i_4$ . Así que lo único que queda es encontrarlos.

Para $i_1$ Piensa en esto: ¿de cuántas maneras puedes expresar un número entero $n$ como una suma de un solo número entero extraído de $\{1,2\}$ ? Si $n$ es cualquier cosa menos $1$ o $2$ no puedes hacerlo en absoluto, y si $n$ es $1$ o $2$ sólo se puede hacer de una manera. Así que esta función generadora es $x + x^2$ . La función generadora de $i_3$ se puede encontrar por el mismo razonamiento.

Para $i_2$ por las mismas razones que $i_1$ y $i_3$ , se obtiene la serie $1+x+x^2+x^3+x^4+\dots$ , que debería reconocer como $\frac{1}{1-x}$ . $i_4$ , de nuevo, utiliza el mismo razonamiento, pero sin término constante

Una vez que hayas encontrado estas cuatro funciones, sólo tienes que multiplicarlas.