Diferencial de norma con matriz simétrica

Question

Dejemos que $z: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ sea una función diferenciable. Sabemos que $$\frac{d}{dt} |z(t)|^2= 2\langle z'(t),z(t) \rangle.$$ Ahora, dejemos que $A$ sea cualquier $n\times n$ matriz (quizás simétrica, definida positiva...etc). ¿Tenemos algo similar tal que el diferencial es $2\langle z'(t),Az(t) \rangle$ ? Cualquier observación sería útil (igualdad, desigualdad...etc).

Answer 1

Dejemos que $I \subset \Bbb{R}$ sea un conjunto abierto, y sea $A \in M_{n \times n}(\Bbb{R})$ sea una matriz simétrica. Si se supone que $z:I \to \Bbb{R}^n$ es diferenciable, entonces se puede demostrar que la función $f: I \to \Bbb{R}$ definido por \begin{align} f(t) = \langle A z(t) , z(t)\rangle \end{align} es diferenciable y por la regla de la cadena, tenemos que para cada $t \in I$ , \begin{align} f'(t) &= \langle A z'(t), z(t) \rangle + \langle A z(t) , z'(t)\rangle \\ &= 2 \langle A z(t) , z'(t)\rangle, \end{align} la última igualdad se debe a que $A$ es simétrica.

Answer 2

Supongamos que

$y(t) = \langle z(t), Az(t) \rangle; \tag 1$

entonces

$\dot y(t) = \langle \dot z(t), Az(t) \rangle + \langle z(t), A\dot z(t) \rangle$ $ = \langle \dot z(t), Az(t) \rangle + \langle A^Tz(t), \dot z(t) \rangle = \langle \dot z(t), Az(t) \rangle + \dot z(t), A^T z(t) \rangle$ $= \langle \dot z(t), (A + A^T)z(t) \rangle; \tag 2$

cuando $A$ es simétrica,

$A = A^T, \tag 3$

esto se convierte en

$\dot y(t) = 2\langle \dot z(t), Az(t) \rangle. \tag 4$

Nota Bene: También cabe señalar que el operador $A$ que ocurren en (2), (4) pueden ser transferidos a $\dot z(t)$ a través de las propiedades habituales de la transposición de matrices, a saber

$\dot y(t) = \langle (A + A^T)\dot z(t), z(t) \rangle = \langle z(t), (A + A^T)\dot z(t) \rangle, \tag 5$

y

$\dot y(t) = 2\langle A\dot z(t), z(t) \rangle = 2 \langle z(t), A\dot z(t) \rangle \tag 4$

en el caso de que $A = A^T$ es simétrica. Fin de la nota.