Dejemos que $f(x)=x\cdot(\log x)^x$ para $x\geq 2$ y, a continuación, integrando $\log f(x)=\int_2^x f'(t)/f(t)dt$ es fácil demostrar la primera afirmación de la siguiente, y directamente si ponemos $x=e^H_n$ y añadir $H_n$ el segundo ( $e>2$ )
Lema. Para $x\geq 2$ , $$x\log \log x=2\log\log 2 +Li(x)+\int_2^x\log\log tdt$$ donde $Li(x)$ es la integral logarítmica $\int_2^xdt/\log t$ . Y así $$H_n+e^{H_n}\log (H_n)=H_n+2\log\log 2+Li(e^{H_n})+\int_2^{e^{H_n}}\log\log tdt$$ donde $H_n$ es el número armónico enésimo $1+1/2+\cdots +1/n$ .
Ahora mi pregunta es
Pregunta. ¿Puede continuar los cálculos anteriores para demostrar una mejora razonable de $$\sigma(n)\leq \text{something}\leq \text{RHS of second statement in previous lemma},$$ donde $\sigma(n)$ denotan la suma de los divisores positivos de $n$ , $\sum_{d|n}d$ .
Gracias es de antemano, mi único objetivo es editar el mejor post posible en este Math Stack Exchange, me disculpo por traer esta pregunta aquí porque creo que esta comunidad puede hacer contribuciones. Lo siento por mi inglés.
Anexo :
Mi pregunta como se construye, nos dicen cómo tomar un ingrediente de una equivalencia de la Hipótesis de Riemann, $\sigma(n)$ y otros ingredientes, $Li(x)$ de otra equivalencia de RH y juntarlos, bueno, de una manera no comprensible. Temas como cierto tipo de números abundantes, la aproximación de Robin a RH, el orden de crecimiento de $\sigma(n)$ o $H_n$ y la relación entre $Li(x)$ y la Hipótesis de Riemann pueden encontrar en la literatura. En [4] (no tengo una fuente abierta para proporcionarla) podemos leer una integral igual a $\sigma(n)$ .
Simplemente puede leer el primer párrafo de la sección Ideas iniciales , página 343 de [2] (dado como documento libre), y la equivalencia de Lagarias en el último párrafo antes de la sección Otras funciones Zeta y L en la página 347 para conocer dos equivalencias con la Hipótesis de Riemann.
Por tanto (vía [3]) la Hipótesis de Riemann se cumple si y sólo si $$\sigma(n)\leq H_n+2\log\log 2+Li(e^{H_n})+\int_2^{e^{H_n}}\log\log t dt.$$
Referencias:
[1] Wikipedia.
[2] J. Brian Conrey, The Riemann Hypothesis, Notices of the AMS, MARZO 2003, Volumen 50, Número 3 (www.ams.org/notices).
[3] Jeffrey C. Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, The American Mathematical Monthly Vol. 109, No. 6 (Jun. -Jul., 2002), pp. 534-543.
[4] George Purdy, Una integral igual a $\sigma(n)$ , Problemas y Soluciones, Problema E 1850 [1966, 82] American Mathematical Monthly Vol. 74 N. 5 MAYO 1967, p. 594-595.
