Propiedades topológicas del llamado "plano en el infinito".

Question

Cuando la geometría 3D-euclidiana se amplía con puntos ideales en el infinito, se añade a la geometría todo un "plano en el infinito".

Aparte de las propiedades métricas se ha convertido en un espacio proyectivo 3D y el plano en el infinito es un plano proyectivo regular.

Por otro lado, experimentamos el infinito como una "esfera" que nos rodea a una distancia infinita.
Quiero decir en el mundo real.

¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo unir la vista de un plano y una esfera, observando las propiedades topológicas del "plano en el infinito"?
Dicho de otro modo: ¿qué tipo de modelo topológico para el "plano en el infinito" sería adecuado?

Answer 1

En $\mathbb R^4,$ tomar la 3-esfera ordinaria $$ x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1. $$ Para cualquier cosa sobre esto, proyectar centralmente desde $(0,0,0,0)$ al hiperplano $$ w = -1. $$ Los puntos que se alejan hasta el infinito son el ecuador de la 3-esfera, que es una 2-esfera, pero con puntos antípodas identificados, por lo que es una RP2

Answer 2

Piensa en una familia de todas las líneas que pasan por un punto en $\mathbb{R}^3$ . Ahora empieza a mover este punto hasta el infinito. En el límite la familia se convierte en una familia de líneas paralelas. Por definición, el plano en el infinito es el conjunto de estas familias, es un plano proyectivo, no un plano euclidiano ordinario.

Las distintas familias tienen direcciones diferentes, por lo que parece que podemos utilizar la esfera para representarlas. Sin embargo, las direcciones antípodas producen la misma familia de líneas paralelas, por lo que tendríamos que identificar puntos antípodas en la esfera para representar fielmente el plano en el infinito. Y esa es una forma estándar de describir el plano proyectivo. Muchas propiedades topológicas del plano proyectivo pueden establecerse utilizando esta construcción del mismo como cociente de la esfera.

Answer 3

El plano en el infinito es el mismo que cualquier plano en el sentido de la geometría proyectiva. Por tanto, es un plano proyectivo. Está naturalmente conectado a la esfera de dos maneras:

1. proyección estereográfica. Aquí la línea en el infinito (del plano proyectivo) se identifica con el polo norte de la esfera (supongamos que el plano proyectivo es tangente a la esfera en el polo sur).

2. identificar los puntos antípodas en una esfera con una línea que pasa por el origen. Un plano arbitrario que no pase por el origen de la esfera se encontrará con la recta en un único punto. Cuando la recta elegida es paralela al plano, el punto de intersección está en el infinito.

Answer 4

Hay muchas maneras de compactar $\mathbb{R}^3$ añadiendo puntos en el infinito; el espacio proyectivo real de 3 $\mathbb{P}^3$ no es la única manera de hacerlo.

Una forma que parece corresponder a su descripción es el hecho de que $\mathbb{R}^3$ es homeomorfo a la bola unitaria abierta a través del homeomorfismo en coordenadas esféricas:

$$ (\rho, \theta, \varphi) \mapsto \left( \frac{\rho}{1+\rho}, \theta, \varphi \right) $$

No hay nada especial en $\rho/(1+\rho)$ Simplemente lo elegí porque es una función continua y creciente $[0, \infty) \mapsto [0, 1)$ .

Como se puede compactar la bola abierta añadiendo su frontera - la esfera unitaria $S^2$ - obtenemos una compactación correspondiente de $\mathbb{R}^3$ que llamaré $X$ .

El espacio $X \setminus \mathbb{R}^3$ formado por los puntos ideales en el infinito será homeomorfo a la esfera unitaria $S^2$ .

En términos de una construcción más clásica, esto corresponde a añadir un punto ideal en el infinito para cada clase de paralelas rayos en $\mathbb{R}^3$ . La construcción del espacio proyectivo $\mathbb{P}^3$ utiliza en cambio clases de líneas paralelas.

El mapa de identidad en $\mathbb{R}^3$ puede extenderse a una función continua $X \to \mathbb{P}^3$ . En los puntos ideales en el infinito, este mapa es (equivalente a) la cubierta doble $S^2 \to \mathbb{P}^2$ obtenido mediante la identificación de los puntos antípodas de la esfera.