Si $e,f\in R$ - un anillo asociativo con $1$ son idempotentes, entonces $eR\cong fR$ si hay $u,v\in R$ tal que $uv=e$ y $vu=f$ .

Question

Estoy leyendo el libro de Lambek Conferencias sobre anillos y módulos y tengo un problema con una proposición en el Anillos completamente reducibles sección. La proposición es la siguiente:

Dejemos que $R$ sea un anillo asociativo con $1$ y $e,f\in R$ son idempotentes, es decir $e^2=e$ y $f^2=f$ . Entonces $eR\cong fR$ si hay $u,v\in R$ tal que $uv=e$ y $vu=f$ .

Tengo un problema para entender la prueba de la parte "sólo si", es decir, probar la existencia de tal $u,v$ si $eR\cong fR$ . La prueba dada es:

Dejemos que $u=fue$ responden al isomorfismo $eR\to fR$ y $v=evf$ responder al isomorfismo inverso. Me cuesta entender lo que hace el autor. Tal vez retorciéndose $e\in fR$ y $e=fs$ para algunos $s\in R$ y haciendo lo mismo para $f\in eR$ podría hacerlo, pero no logré probarlo.

Answer 1

A mí también me costó captar lo que decía al principio.

El autor está utilizando el Lemma 1 que precede a su proposición, que $Hom(eR_R,fR_R)\cong fRe$ y $Hom(fR_R,eR_R)\cong eRf$ . Entonces su isomorfismo $U:eR\to fR$ es igual a $fue$ porque para algunos $u$ y $V:fR\to eR$ es igual a $evf$ para algunos $v$ .

Porque $VU$ es la identidad en $eR$ , $e=VUe=evffuee=(evf)(fue)$ .

Asimismo, porque $UV$ es la identidad en $fR$ , $f=fueevff=(fue)(evf)$ .

Ahora puedes ver que los dos elementos se multiplican en órdenes opuestos para dar lugar a $e$ y $f$ .